Navi - bel affichage d'une fiche

Chaîne de polygones

Identification

Rallye: 28.I.12 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: FN
Famille:

SN - Traiter une suite numérique

Résumé

Trouver le rang du terme de la suite des nombres triangulaires (suite des sommes des premiers entiers naturels) supérieur mais le plus proche de 2020, dans le contexte d’une chaîne de polygones de 3, 4, 5, 6 …. côtés

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre comment se construit la chaîne et les caractéristiques des polygones qui la composent : chacun a un côté de plus que le précédent en partant de 3 : 4 ; 5 ; 6 ; …

- Une première façon de s’approprier le problème consiste simplement à compter les segments sur la figure et voir que pour le 6e polygone (à 8 côtés) on arrive à 28 segments : 3, 6, 10, 15, 21, 28

- Observer que pour construire le septième polygone (à 9 côtés), on ajoute 8 segments aux 28 segments déjà tracés (28 + 8 = 36) et ainsi de suite. À chaque fois on ajoute le nombre suivant de celui qui vient d'être ajouté pour obtenir le polygone qui a un côté de plus que le polygone précédemment tracé et le nombre de segments tracés augmente d’autant : 36 + 9 = 45 (polygone à 10 côtés), 45 +10 = 55 (polygone à 11 côtés) et ainsi de suite jusqu'à 1891 + 62 = 1953 (polygone à 63 côtés), 1953 + 63 = 2016 (polygone à 64 côtés). Se rendre compte alors que les quatre segments qui manquent pour arriver à 2020 appartiennent au polygone à 65 côtés.

(Cette procédure semble longue et fastidieuse. Un calcul d’une soixantaine de sommes et un contrôle rigoureux sont nécessaires mais cela ne prend que quelques minutes avec une calculatrice.)

- Organiser les données précédentes dans un tableau par exemple :

- Observer que si on remplace 3 par 1+2, la somme à calculer est : 1 + 2 + 3 + 4 + 5+…+ (n - 1)

- Si la formule qui donne la somme des n premiers nombres naturels est connue : Sn = [n ( n + 1)] / 2, la procédure est plus rapide que la précédente. Quelques essais de valeurs de n permettent de découvrir que pour n = 64 (polygone à 64 côtés) la somme 1 + 2 + 3 + ... + 63 est 2016 (= 63 × 64/2). En déduire que le 2020e segment appartient au polygone à 65 côtés.

Notions mathématiques

polygone, suite, série, côté, segment, nombre triangulaire

Résultats

28.I.12

Points attribués sur 3443 classes de 15 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	1071 (85%)	72 (6%)	45 (4%)	53 (4%)	12 (1%)	1253	0.29
Cat 7	897 (79%)	61 (5%)	52 (5%)	80 (7%)	44 (4%)	1134	0.51
Cat 8	582 (75%)	43 (6%)	40 (5%)	64 (8%)	42 (5%)	771	0.63
Cat 9	96 (69%)	15 (11%)	7 (5%)	13 (9%)	8 (6%)	139	0.72
Cat 10	94 (64%)	18 (12%)	7 (5%)	20 (14%)	7 (5%)	146	0.82
Total	2740 (80%)	209 (6%)	151 (4%)	230 (7%)	113 (3%)	3443	0.48
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (65 côtés) avec description claire et complète de la procédure (formulation correcte des relations entre le nombre de côtés de la figure, la somme des nombres de segments et détail des calculs)
3 points: Réponse correcte avec description peu claire ou incomplète (par exemple, calculs pas complètement explicités)
ou procédure correcte et bien décrite mais avec une erreur de calcul ou non prise en compte des 3 segments du triangle
ou recherche pas à pas correcte pour les dix à quinze premiers éléments mais avec une erreur qui conduit à la réponse 64 ou 66
2 points: Réponse correcte sans aucune explication
ou réponse erronée ou absence de réponse, mais avec une description correcte des relations entre le nombre de côtés de la figure et la somme des nombres de segments
1 point: Début de raisonnement correct avec calcul des sommes des nombres de côtés d’au moins les vingt à trente premiers polygones
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT