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Catena di poligoni

Identificazione

Rally: 28.I.12 ; categorie: 6, 7, 8, 9, 10 ; ambito: FN
Famiglia:

SN - Gestire una successione numerica

Sunto

Trovare il numero successivo dell’ultimo termine della successione dei primi numeri naturali la cui somma non supera 2020, nel contesto di una catena di poligoni di 3, 4, 5, 6 .... lati.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere come si costruisce la catena e le caratteristiche dei poligoni che la compongono: ognuno ha un lato in più rispetto al precedente a partire da 3; 4; 5; 6; ...

- Un primo modo di appropriarsi del problema è contare tutti i segmenti che ci sono nella figura: in tutto sono 28.

- Osservare che costruendo il settimo poligono, con 9 lati, si aggiungono ai 28 altri 8 segmenti (28 + 8 = 36) e così via si aggiunge ogni volta il numero successivo di quello appena aggiunto che corrisponde al poligono che ha un lato in più del numero aggiunto: 36 + 9 = 45 (poligono con 10 lati), 45 + 10 = 55 (poligono con 11 lati) e così via fino ad arrivare a 1891 + 62 = 1953 (poligono con 63 lati), 1953 + 63 = 2016 (poligono con 64 lati) e rendersi conto che i quattro segmenti mancanti al 2020 appartengono al poligono con 65 lati.

(Questa procedura sembra lunga e noiosa, occorrono una sessantina di addizioni e un controllo rigoroso che tuttavia richiede solo pochi minuti con una calcolatrice.)

Oppure

- Organizzare i dati precedenti in una tabella, ad esempio:

- Osservare che se a 3 si sostituisce 1+2, la somma che si deve calcolare è: 1+ 2 +3 +4 + 5 + …. (n¬−1).

- Se è nota la formula che dà la somma dei primi n numeri naturali: Sn = [n (n + 1)] / 2 la procedura è più veloce della precedente, infatti alcuni tentativi sui valori di n consentono di scoprire che per n = 64 (poligono con 64 lati) la somma 1 + 2 + 3 + … + 63 è 2016 (= 63 × 64/2). Dedurre quindi che il 2020° segmento appartiene al poligono di 65 lati.

Nozioni matematiche

poligono, successione, serie, lato, segmento, numero triangolare

Risultati

28.I.12

Punti attribuiti su 3443 classi di 15 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 6	1071 (85%)	72 (6%)	45 (4%)	53 (4%)	12 (1%)	1253	0.29
Cat 7	897 (79%)	61 (5%)	52 (5%)	80 (7%)	44 (4%)	1134	0.51
Cat 8	582 (75%)	43 (6%)	40 (5%)	64 (8%)	42 (5%)	771	0.63
Cat 9	96 (69%)	15 (11%)	7 (5%)	13 (9%)	8 (6%)	139	0.72
Cat 10	94 (64%)	18 (12%)	7 (5%)	20 (14%)	7 (5%)	146	0.82
Totale	2740 (80%)	209 (6%)	151 (4%)	230 (7%)	113 (3%)	3443	0.48
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

4 punti: Risposta corretta (65 lati) con spiegazione chiara e completa del procedimento (formulazione corretta delle relazioni tra il numero dei lati della figura, la somma dei numeri dei segmenti ed esplicitazione dei calcoli)
3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara o incompleta (es. somma o calcoli non ben esplicitati)
oppure procedura corretta e ben spiegata, ma un errore di calcolo o non considerati i tre segmenti del triangolo
oppure ricerca passo a passo, corretti i primi (dai dieci ai quindici) elementi, ma con un errore che porta alla risposta 64 o 66
2 punti: Risposta corretta senza alcuna spiegazione
oppure risposta errata o non data, ma descritte correttamente le relazioni tra il numero dei lati della figura e il numero totale dei segmenti
1 punto: Inizio di ragionamento corretto con calcolo della somma di almeno i primi venti o trenta poligoni
0 punto: Incomprensione del problema

Banca di problemi del RMT