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Banca di problemi del RMTfn25-it |
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Trovare il numero successivo dell’ultimo termine della successione dei primi numeri naturali la cui somma non supera 2020, nel contesto di una catena di poligoni di 3, 4, 5, 6 .... lati.
Analisi a priori:
- Comprendere come si costruisce la catena e le caratteristiche dei poligoni che la compongono: ognuno ha un lato in più rispetto al precedente a partire da 3; 4; 5; 6; ...
- Un primo modo di appropriarsi del problema è contare tutti i segmenti che ci sono nella figura: in tutto sono 28.
- Osservare che costruendo il settimo poligono, con 9 lati, si aggiungono ai 28 altri 8 segmenti (28 + 8 = 36) e così via si aggiunge ogni volta il numero successivo di quello appena aggiunto che corrisponde al poligono che ha un lato in più del numero aggiunto: 36 + 9 = 45 (poligono con 10 lati), 45 + 10 = 55 (poligono con 11 lati) e così via fino ad arrivare a 1891 + 62 = 1953 (poligono con 63 lati), 1953 + 63 = 2016 (poligono con 64 lati) e rendersi conto che i quattro segmenti mancanti al 2020 appartengono al poligono con 65 lati.
(Questa procedura sembra lunga e noiosa, occorrono una sessantina di addizioni e un controllo rigoroso che tuttavia richiede solo pochi minuti con una calcolatrice.)
Oppure
- Organizzare i dati precedenti in una tabella, ad esempio:
- Osservare che se a 3 si sostituisce 1+2, la somma che si deve calcolare è: 1+ 2 +3 +4 + 5 + …. (n¬−1).
- Se è nota la formula che dà la somma dei primi n numeri naturali: Sn = [n (n + 1)] / 2 la procedura è più veloce della precedente, infatti alcuni tentativi sui valori di n consentono di scoprire che per n = 64 (poligono con 64 lati) la somma 1 + 2 + 3 + … + 63 è 2016 (= 63 × 64/2). Dedurre quindi che il 2020° segmento appartiene al poligono di 65 lati.
poligono, successione, serie, lato, segmento, numero triangolare
Punti attribuiti su 3443 classi di 15 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 6 | 1071 (85%) | 72 (6%) | 45 (4%) | 53 (4%) | 12 (1%) | 1253 | 0.29 |
Cat 7 | 897 (79%) | 61 (5%) | 52 (5%) | 80 (7%) | 44 (4%) | 1134 | 0.51 |
Cat 8 | 582 (75%) | 43 (6%) | 40 (5%) | 64 (8%) | 42 (5%) | 771 | 0.63 |
Cat 9 | 96 (69%) | 15 (11%) | 7 (5%) | 13 (9%) | 8 (6%) | 139 | 0.72 |
Cat 10 | 94 (64%) | 18 (12%) | 7 (5%) | 20 (14%) | 7 (5%) | 146 | 0.82 |
Totale | 2740 (80%) | 209 (6%) | 151 (4%) | 230 (7%) | 113 (3%) | 3443 | 0.48 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
(c) ARMT, 2020-2024