Banque de problèmes du RMT
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Trouver la somme des cinq premiers termes d’une suite de nombres dont on connaît les trois premiers 8, 15, 24, … (déterminés à partir du dénombrement de cure-dents disposés en spirales)
- Observer les trois spirales données et leurs régularité : par exemple, la suite des « cotés » de 1, 1, 2, 2, 3, 3, ,4, 4 … cure-dents, leur inscription dans des carrés de 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, le « début » de chaque spirale est un cure-dent placé horizontalement, etc.).
- Construire la quatrième et la cinquième spirales selon les mêmes règles.
- Compter les cure-dents des trois premières (8, 15, 24) puis des suivantes (35, 48)
- La construction des 4e et 5e spirale n’est pas obligatoire mais elle permet de vérifier les régularités de la suite des cinq nombres, dont les différences successives sont 7, 9, 11, 13 (nombres impairs successifs). Sans constructions effectives, il faut émettre des hypothèses sur la progression des différences, imaginer la prolongation de la troisième ou décomposer les spirales selon la progression de leurs « côtés » 1 + 1 + 2 + 2 + …
- Calculer la somme des cure-dents : 8 + 15 + 24 + 35 + 48 = 130.
progression, suite, spirale, somme, nombre naturel
Points attribués sur 910 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 124 (31%) | 87 (21%) | 71 (18%) | 46 (11%) | 77 (19%) | 405 | 1.67 |
| Cat 4 | 149 (30%) | 85 (17%) | 53 (11%) | 73 (15%) | 143 (28%) | 503 | 1.95 |
| Total | 273 (30%) | 172 (19%) | 124 (14%) | 119 (13%) | 220 (24%) | 908 | 1.82 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
71 copies de la section SR (26 de cat. 3 et 45 de cat. 4 ont été analysées a posteriori.
La quatrième et la cinquième spirales sont dessinées sur les copies dans 12 cas sur 26 en cat. 3 et 27 cas sur 45 en cat. 4, sur la page sous l’énoncé ou sur une feuille annexe non quadrillée. Ces dessins ne respectent pas tous la disposition des trois modèles et par conséquent conduisent à des nombres différents de cure-dents. Les exemples qui suivent montrent que la tâche de dessin est très exigeante.
Les constructions de nouvelles spirales
Avant d’observer les copies, on s’attendait à ce que la grande majorité des groupes construisent la quatrième et la cinquième spirale.
On relève de très nombreuses erreurs dues à des constructions imprécises. À ce propos il y a une progression sensible dans la précision constructions de la catégorie 3 à la catégorie 4 : usage de la règle, perpendicularité des « côtés », alignements, respect des longueurs des cure-dents.
Exemple 1 (cat 3)
figure 1
Dans cette copie, il y a effectivement 33 et 42 cure-dents dessinés mais ces nombres ne sont pas le résultat d’un comptage effectif car les spirales dessinées ne correspondent pas aux modèles (les nombres exacts devraient être 35 et 48).
Une hypothèse sur la découverte de 33 et 42 est suggérée par la présence de ces deux nombres dans plusieurs autres copies : les élèves ont compté précisément les cure-dents des trois premières spirales : 8 ; 15 ; 24 ; ils ont constaté que, pour passer de 15 à 24, il faut ajouter 9 et ils ont reproduit cette augmentation pour les quatrième et cinquième spirales. Ils ont ensuite jugé pertinent de dessiner les deux spirales successives de 33 et 42 cure-dents en conservant la disposition en « spirale » de 9 « côtés (comme la troisième) et en ajoutant de cure-dents pour que les dessins soient cohérents avec les nombre 33 et 42 de leur réponse.
Exemple 2 (cat 4)
figure 2
Cet exemple montre l’importance du respect des règles de construction des spirales, dans le détail : la disposition du premier cure-dent au centre, le sens de rotation, la perpendicularité de deux côtés successifs, les nombres de côtés, les nombres de cure-dents sur chaque côté, la progression de ces nombres.
La spirale (34) ne tourne pas dans le même sens que les modèles (symétrie axiale ou « retournement ») ce qui n’a pas d’incidence sur le nombre de cure-dents; mais le second côté a deux cure-dents au lieu de 1, ce qui entraînera la suite, erronée mais cohérente avec les règles de succession 1 ; 2 ; 2 ; 3 : 3 ; 4, ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 dont la somme est effectivement 34 ; mais une deuxième erreur est le manque d’un « côté » de la spirale qui devrait en avoir 11.
La spirale (51) contient des erreurs dans les premiers côtés : 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; … au lieu de 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; … ; les longueurs des premiers cure-dents sont imprécises et entraînent deux comptages différents (51 et 54) ; la spirale a 14 côtés au lieu de 13. (On ne peut pas savoir pour quelle raison 51 apparaît au-dessus du 51 et est remplacé par 54 dans l’addition en colonne.
Exemple 3 (cat 3)
figure 3
Cet exemple illustre aussi la complexité de la tâche d’analyse de la spirale, les distances entre les côtés ne sont pas régulières et les longueurs des segments varient, ce qui a entraîné trois cure-dents de trop dans la spirale de gauche. Un contrôle (trois cure-dents biffés opportunément) a permis de rectifier le nombre pour arriver à 48 cure-dents dans la figure de gauche pour modifier la première réponse (133), et arriver à la réponse correcte 130.
La progression arithmétique
Que les deux dernières spirales soient dessinées ou non, environ la moitié des procédures permettant de déterminer le nombre total de cure-dents se réfèrent à la suite des trois premiers nombres 8, 15 et 24 obtenue par comptage correct sur les trois modèle donné.
Exemple 4 (cat 4)
figure 4
Dans cette copie, sans dessin des 4e et 5e spirale, les élèves ont perçu et noté clairement les augmentations de 8 à 15 puis de 15 à 24, puis sur les deux nombres relatifs + 7 et + 9, ils ont reproduit l’écart de + 2 sans vérifier la validité de leur hypothèse de régularité par le dessin d’au moins une spirale supplémentaire ou le comptage des cure-dents pour « prolonger » mentalement la troisième spirale.
On pourrait penser que cette vérification a été faite sans être mentionnée explicitement, mais comme cette procédure est très fréquente, on peut être presque certain que l’indice + 2 tiré des deux seuls écarts + 7 et + 9 a suffi pour en tirer la généralisation à une suite d’augmentations en progression arithmétique de raison + 2. Il n’y a qu’une erreur de calcul à relever dans l’addition en colonnes qui devrait aboutir à 130 plutôt que 129.
Dans cet exemple et pour ce cas particulier de spirales, la généralisation s’avère exacte et est « naturelle » pour des élèves de catégories 3 et 4. C’est au cours de la phase d’institutionnalisation que l’enseignant devra signaler l’importance d’une vérification ou, mieux, proposer une situaion ou les augmentations successives ne sont pas une progression arithmétique.
Exemple 5 (cat 3)
Figure 5
Voici un exemple où non seulement un dessin des 4e et 5e spirales a été construit précisément et où la régularité de la progression des longueurs de côtés (+1) a été découverte sur les trois première spirales et vérifiée sur les deux suivantes.
(c) ARMT, 2021-2024