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Quarante triangles

Identification

Rallye: 29.F.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: FN
Familles:

Résumé

Trouver le 41e (ou le 40e) terme d’une progression arithmétique de raison 2, de premier terme égal à 1 (ou 3), ou calculer le 10e terme d’une progression arithmétique de raison 8, de premier terme 9.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre (éventuellement en poursuivant la construction de la figure) comment est faite la suite des triangles (le premier triangle est obtenu en plaçant trois allumettes, tandis que pour chacun des suivants, on en utilise seulement deux, car il a un côté commun avec le triangle qui le précède).

- Dessiner ou réaliser concrètement l’ensemble de la décoration et compter les côtés des triangles.

Ou (par l’arithmétique), on peut procéder de différentes manières :

- Observer que dans la construction de la décoration, après le premier triangle qui a 3 allumettes, 2 allumettes supplémentaires sont ajoutées pour chacun des triangles suivants ; puis écrire la suite 3, 5, 7, ... pour trouver que le 40e terme est le nombre 81. Ou bien faire une addition dans laquelle le premier terme est 3 et les suivants sont tous égaux à 2 : 3 + 2 + 2 + 2 + 2 +… jusqu'à 40 termes au total, avec 39 termes égaux à 2. Calculer la somme (81) qui représente le nombre d’allumettes requises pour faire 40 triangles.

Ou bien

- Observer qu'à partir de la première allumette, il faut seulement en ajouter deux pour obtenir à la fois le premier triangle puis chacun des triangles suivants : 1 + 2 × 40, ou considérer qu'il y a 39 triangles à partir du premier pour un total de 39 × 2 + 3 = 81 allumettes.

Notions mathématiques

addition, multiplication, progression arithmétique, raison, triangle, fonction numérique

Résultats

29.F.05

Points attribués sur 163 classes de 21 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	13 (25%)	11 (21%)	7 (13%)	14 (27%)	7 (13%)	52	1.83
Cat 4	10 (19%)	9 (17%)	4 (7%)	9 (17%)	22 (41%)	54	2.44
Cat 5	14 (25%)	1 (2%)	1 (2%)	11 (19%)	30 (53%)	57	2.74
Total	37 (23%)	21 (13%)	12 (7%)	34 (21%)	59 (36%)	163	2.35
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (81 allumettes) avec une description claire et complète de la procédure suivie (dessin correct de la décoration et comptage des allumettes, ou raisonnement de type arithmétique et détails des calculs).
3 points: Réponse correcte avec une description partielle ou peu claire (dessin incomplet ou non précis ou raisonnement mal expliqué),
ou réponse erronée due à une erreur de calcul ou de comptage avec une description claire et complète,
ou réponse 80 ou 78 ou 72 en raison d’un comptage incorrect pour le premier triangle ou en oubliant les quatre premiers triangles avec une description claire et complète.
2 points: Réponse correcte (81 allumettes) sans aucune description,
ou réponse erronée due à une erreur de calcul avec des descriptions partielles ou peu claires,
ou réponse 80 ou 78 ou 72 en raison d’une erreur de comptage incorrect pour le premier triangle ou de l'oubli des quatre premiers triangles avec une description partielle ou imprécise.
1 point: Début de recherche cohérente (dessin même incomplet ou quelques calculs cohérents ou début de quelques descriptions de procédures n’aboutissant pas à un résultat),
ou réponses 80 ou 78 ou 72 sans aucune description.
0 point: Incompréhension du problème
ou incapacité de calculer les montants

Banque de problèmes du RMT