De figure en figure

Identification

Rallye: 30.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: FN, GP
Familles:

• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

Remarque et suggestion

Résumé

Les trois premiers éléments d’une suite régulière de figures géométriques sur papier quadrillé, de couleurs grises et blanche étant données, déterminer le rang d’une de ces figures sachant que l’aire d’une de ses parties grises vaut 9 fois l’aire correspondante de la figure de rang 7.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer les trois figures données et leurs caractéristiques qui varient de l’une à la suivante ou restent constantes. Par exemple la longueur du carré intérieur gris, celle du côté de la figure varient, comme le nombre de triangles du cadre. Ce qui reste constant est la largeur du cadre (d’un carreau) et le motif de sa décoration.

- Se rendre compte que le nombre de triangles gris, le nombre de triangle blancs, la longueur du côté de la figure, la longueur du côté du carré gris, son aire … dépendent de la variable n, rang de la figure et percevoir que parmi toutes les grandeurs en jeu, c’et la longueur du côté du carré intérieur gris qui sera la plus « utile » pour se repérer dans la suite.

- Aborder la phase de résolution à partir des constatations précédentes en identifiant les régularités de la suite par exemple en mettant en évidence le rang n et la longueur et l’aire du carré interne (exprimés en côté et aire d’un carreau du quadrillage)

• la figure de rang 1 a un carré interne de longueur de côté 2 et une aire de 4,
• la figure de rang 2 a un carré interne de longueur de côté 4 et une aire de 16,
• la figure de rang 3 a un carré interne de longueur de côté 6 et une aire de 36,
• ...
• la figure de rang 7 a un carré interne de longueur de côté 14 et une aire de (14)$^2$ = 196
• la figure de rang n a un carré interne de longueur de côté 2n et une aire de (2n)$^2$.

- La figure cherchée de rang inconnu que nous appelons provisoirement X a un carré interne de longueur de côté 2X et une aire de 196 x 9 = 1764 = (2X)$^2$ pour aboutir finalement à 2X = √1764 = 42 et au rang de la figure cherchée : X = 21

Notions mathématiques

suite, idée de fonction

Résultats

30.I.14

Points attribués sur 2250 classes de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (rang 21) avec description claire de la procédure (description des relations entre les éléments des figures et modalités des calculs)
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires ou incomplètes
• 2 points: Réponse correcte sans explications,
  ou quelques erreurs de calcul dans les aires pour arriver au rang correct
• 1 point: Début de recherche cohérent (par exemple, détermination correcte de l’aire du carré gris de la figure 7 et celle du carré gris de la figure cherchée mais sans trouver son rang
  ou détermination de la relation entre le rang et l’aire d’une figure et l’aire de son carré gris
  ou dessin correct de plusieurs autres figures de la suite
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Procédures

1) Procédure algorithmique : 7 × 2 = 14 (côté du carré dans la figure de rang 7), 14$^2$ = 196 (aire du carré intérieur dans la figure de rang 7), 196 × 9 = 1764 (aire du carré intérieur dans la figure recherchée), √1764 = 42 (côté du carré dans la figure recherchée), 42 : 2 = 21 (rang de la figure recherchée), avec quelques variantes, notamment dans les cat. 7-8, où la racine carrée provient de l'opération 42$^2$ = 1764.

2) Procédure algorithmique (variante de la précédente) : l'unité de mesure n'est pas le côté du carré du quadrillage (comme dans la procédure 1) mais son double ; dans ce cas, la multiplication et la division par 2 ne sont pas nécessaires et l'algorithme devient : 7$^2$ = 49 (aire du carré à l'intérieur de la figure de rang 7), 49 × 9 = 441 (aire du carré à l'intérieur de la figure recherchée), √441 = 21 (rang de la figure recherchée). Souvent, cette procédure n'a pas été reconnue par les correcteurs.

3) Procédure basée sur le rapport de similitude : dans quelques cas, on observe sur les dessins proposés dans l’énoncé que l'aire de la figure de rang 3 est 9 fois celle de la figure de rang 1 ; cela conduit à l'intuition ou au rappel que si le côté triple, l'aire devient 9 fois et à arriver rapidement à la solution 7 × 3 = 21.

4) Procédure par énumération : toutes les surfaces des carrés de rang 1 au rang 21 sont calculées.

Errerurs

1) Erreurs dans certaines étapes de la procédure algorithmique 1 :

a. Oubli de la division finale par 2

b. Remplacer l'opération racine carrée par la division par 2

c. Remplacer la multiplication par 9 par une addition de 9

2) Application erronée du rapport de similitude (erreur fréquente) : on suppose que si l'aire est 9 fois l'aire de la figure de rang 7, alors le côté du carré intérieur et donc le rang sont également 9 fois, ce qui conduit à la solution 7 × 9 = 63.

3) Combinaison des erreurs précédentes 1c et 2 : ajouter 9 au rang 7 pour obtenir 7 + 9 = 16

4) Identification d'une relation récursive incorrecte entre les termes de la suite, déduite des trois premiers termes.

Bien que cela ne puisse être considéré comme une erreur, on remarque dans plusieurs copies l'introduction arbitraire de l'unité de mesure cm$^2$ pour les aires, comme si le petit carré du quadrillage (ou le carré de côté 2) n'était pas considéré comme une unité tout-à-fait légitime pour mesurer les aires.

Exploitations didactiques

Le problème s'est avéré intéressant et motivant pour les élèves, comme le montre le faible nombre, dans toutes les catégories, de copies sans résultats. Presque toutes les copies présentent un calcul, un dessin ou une ébauche de raisonnement décrite avec des mots.

Certes, d'un point de vue pédagogique, l'intérêt se porte sur la présence de quantités variables et sur leurs relations. Les variables sont nombreuses, mais seulement trois concernent le problème : le rang de la figure, le côté du carré gris à l'intérieur de la figure et l'aire de ce carré ; leur identification par rapport à d'autres variables comme les éléments du carré extérieur ou les parties blanches de la figure, est une première étape importante dans la phase d'appropriation de la situation et peut faire l'objet d'une discussion en classe.

Une fois mise en évidence la présence d'une suite de nombres (les mesures des aires) dépendant d'autres nombres (les rangs), un élément de discussion en classe peut être la comparaison des différentes stratégies, visant à comprendre qu'il n'est pas nécessaire d'énumérer tous les termes de la suite (procédure 4) mais que l'on peut se concentrer sur les deux termes intéressants (procédures 1, 2, 3). Le passage du rang 7 au rang 21 peut se faire de différentes manières et en utilisant différents registres, qu'il est utile de comparer : de la description en mots, à l'utilisation d'une suite d'opérations et de leurs inverses (algorithme), jusqu'aux tentatives pour introduire des écritures symboliques. Bien que la résolution de ce problème ne soit pas nécessaire, on peut travailler en classe sur le développement de ces écritures, jusqu'à arriver à une formule qui relie le rang n à l'aire du carré gris intérieur A(n). À propos d'aire, le problème peut aussi être l'occasion de se convaincre que l'on peut utiliser différentes unités pour la mesurer, toutes aussi légitimes les unes que les autres.

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