La spirale

Identificazione

Rally: 31.II.13 ; categorie: 6, 7, 8, 9, 10 ; ambito: FN
Famiglie:

• PRG - Gestire progressioni
• PRG/PA - Gestire progressioni aritmetiche

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Sunto

Calcolare la somma dei primi 50 termini di due progressioni aritmetiche alternate (1 + 2 + ... + 23 + 24 + 25) + (5 + 6 + 7 + … + 28 + 29) a partire dal disegno di una spirale su una quadrettatura.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Osservare la spirale e comprendere le regole della sua costruzione: le misure dei segmenti in cm, sia orizzontali che verticali, aumentano ogni volta di 1 cm. Prolungare eventualmente di qualche segmento.

- Le conoscenze necessarie si limitano all’addizione e all’applicazione delle sue proprietà.

- Constatare che ci saranno 25 segmenti verticali e 25 orizzontali. Determinare le misure dei segmenti verticali (1, 2, 3, 4, …, 25), quelle dei segmenti orizzontali ( 5, 6, 7, 8, 9, …, 29) e stabilire che si tratta di sommare tutti i 50 numeri.

- Per evitare l’addizione dei 50 termini è possibile raggrupparli utilizzando le proprietà commutativa, associativa e distributiva. Per esempio (1 + 5) + (2 + 6 ) … porta a un’addizione di 25 termini: 6 + 8 + …+ 52 + 54 poi un raggruppamento di termini ((6 + 54) + (8 + 52) + (10 + 50) porta a 60 + 60 + 60 + … + 60 + 30 = 12 × 60 + 30 = 750.

Ci sono evidentemente numerosi altri modi di arrivare alla lunghezza della spirale

Nozioni matematiche

progressione aritmetica, termini, somme dei termini,

Risultati

31.II.13

Punteggi attribuiti su 3789 classi de 20 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori :

• 4 points: Risposta corretta “750 cm” con spiegazioni chiare (calcoli dettagliati, lista delle lunghezze dei segmenti, …)
• 3 points: Risposta corretta con spiegazione senza il dettaglio dei numeri da somma
  oppure risposta con un solo errore (dimenticanza o scambio di un termine, errore di calcolo, …)
• 2 points: Risposta corretta senza spiegazione né dettagli dei calcoli
  oppure risposta con due o tre errori (dimenticanza o scambio di due o tre termini, errore di calcolo, …)
• 1 point: Inizio di ragionamento corretto o risposta con più di tre errori
• 0 point: Incompréhension du problème

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Questa nuova versione del problema sembra un po' più accessibile della vecchia Una spirale particolare (20.I.15,cat 7 - 10)

Sarà necessario esaminare le copie restituite dai gruppi per poter dire di più sugli ostacoli.