Banque de problèmes du RMT
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Trouver les nombres de la 100e colonne d’un tableau où sont inscrits les nombres naturels en découvrant ses différentes régularités soit dans les lignes, soit dans les colonnes, soit dans les suites en oblique.
Analyse a priori de la tâche
- Comprendre qu’il est indispensable de poursuivre le tableau sur plusieurs lignes et colonnes pour en comprendre la structure et aller au moins jusqu’à 8 à 10 lignes et colonnes.
- Une procédure est de compléter le tableau jusqu’à la centième colonne (ce qui semble très long, mais pas impossible ).
- Observer les régularités du tableau et en tirer parti pour limiter les écritures (nombres pairs et impairs, suites régulière sur les trois ligne en diagonale et d’innombrables autres régularités., …)
En particulier, découvrir que la diagonale du tableau, est composée des nombres 1, 6, 7, 12, 13, où les multiples de 6 sont dans la 2e, 4e, 6e colonne et ligne, … 100e colonne et ligne, ce qui permet de savoir qu’on trouvera 300 (600 : 2) dans la 100e colonne et, au-dessus de 300, les deux multiples de 4 qui le précèdent : 292 et 296.
Ou découvrir que la ligne du milieu en diagonale est composée des nombres 2, 5, 8, 11, 14, qui est une progression arithmétique de raison 3 dont le premier terme est 2, dans la colonne 2. Il manque 98 colonnes pour arriver à la colonne 100. Le nombre de cette ligne en diagonale de la colonne 100 sera donc 2 + 98 3 = 296. Au-dessus on trouvera 292 et au-dessous 300.
Ou observer que la somme des nombres d’une colonne à partir de la troisième est 15, 24, 33 … (ou le triple du nombre central) et augmente de 9 d’une colonne à la suivante (progression arithmétique de raison 9 dont le premier terme, 15, se trouve dans la 3e colonne. Pour la 100e colonne on aura une somme de 15 + (100 – 3) 9 = 888, dont le nombre central sera 888 : 3 = 296 celui du haut 292 (296 – 4) et celui du bas 300 (296 + 4) car dans les colonnes de rang pair les différences entre les nombres valent 4.
suite, nombre naturel, formule, fonction, tableau
Résultats sur 3143 classes de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 727 (65%) | 279 (25%) | 47 (4%) | 31 (3%) | 30 (3%) | 1114 | 0.53 |
| Cat 7 | 569 (55%) | 300 (29%) | 60 (6%) | 48 (5%) | 62 (6%) | 1039 | 0.78 |
| Cat 8 | 288 (46%) | 204 (32%) | 40 (6%) | 35 (6%) | 61 (10%) | 628 | 1.01 |
| Cat 9 | 71 (41%) | 52 (30%) | 9 (5%) | 11 (6%) | 32 (18%) | 175 | 1.32 |
| Cat 10 | 52 (28%) | 58 (31%) | 11 (6%) | 17 (9%) | 49 (26%) | 187 | 1.75 |
| Total | 1707 (54%) | 893 (28%) | 167 (5%) | 142 (5%) | 234 (7%) | 3143 | 0.82 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||