La tabella ritrovata

Identificazione

Rally: 30.II.13 ; categorie: 6, 7, 8, 9, 10 ; ambiti: FN, OPN
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

Trovare i numeri che compariranno nella 100ª colonna di una tabella, scoprendo le varie regolarità sia sulle colonne, sia sulle righe, sia sulle diagonali.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori del compito

- Comprendere che è indispensabile costruire una tabella più grande per avere un numero sufficiente di righe e di colonne su cui ragionare.

- Una procedura consiste nel completare la tabella fino alla centesima colonna (questo è un lavoro piuttosto lungo, ma non impossibile).

- Osservare le regolarità della tabella e approfittarne per limitare le scritture (numeri pari e dispari, sequenza regolare sulle tre linee diagonali e innumerevoli altre regolarità., ...)

In particolare, si potrà scoprire che la diagonale della tabella è composta dai numeri 1, 6, 7, 12, 13, … in cui i multipli di 6 sono nella 2ª, 4ª, 6ª colonna e riga, … 100ª colonna e riga, questo permetterà di sapere che si troverà il numero 300 (600 ÷ 2) nella 100ª colonna e, sopra al 300 i due multipli di 4 che lo precedono: 292 e 296.

Oppure scoprire che la linea centrale in diagonale è composta dai numeri 2, 5, 8, 11, 14, … che è una progressione aritmetica di ragione 3 in cui il primo termine è 2, nella colonna 2. Mancano 98 colonne per arrivare alla colonna 100. Il numero di questa riga in diagonale, nella colonna 100, sarà dunque 2 + 98 × 3 = 296. Sopra si troverà 292 e sotto 300.

Oppure osservare che le somme dei numeri in colonna a partire dalla terza in poi aumenta di 9. La somma dei numeri presenti sulla 100ª colonna è allora 15 + (100 – 3) × 9 = 888. Sulle colonne dispari i numeri sono n, n + 2, n + 4; invece sulle colonne pari sono n, n + 4, n + 8, quindi i numeri della 100ª colonna di ordine pari saranno 3n + 12 = 888, da cui si deduce che i numeri saranno 292, 296, 300.

Nozioni matematiche

successione, numero naturale, formula, funzione, tabella

Risultati

30.II.13

Risultati su 3143 classi di 20 sezioni

Secondo i criteri dell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta, 292, 296, 300, con spiegazione chiara e dettagliata dei calcoli fatti per arrivare alla soluzione
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara
• 2 punti: Risposta non corretta dovuta ad un errore di calcolo, ma procedimento ben spiegato
• 1 punto: Inizio ragionamento corretto, ad esempio viste le regolarità fra i numeri sulle colonne, sulle righe o sulle diagonali, ma non sfruttate per arrivare alla soluzione
• 0 punto: Incompréhension du problème