Périmètre et aire

Identification

Rallye: 24.I.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires

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Résumé

Découvrir les rectangles dont les mesures du périmètre en cm et les mesures de l’aire en cm², sont égales

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche

- Comprendre que le tableau se rapporte à des rectangles, vérifier les calculs pour les quatre premières lignes, voir qu’il y a un carré à la deuxième ligne … et se rappeler les formules du périmètre et de l’aire du rectangle : p = 2(a + b) et A = ab.

- Procéder par essais par voie arithmétique avec des rectangles dont on fixe une dimension et on fait varier l’autre :

par exemple, si on choisit 10 (cm) pour une dimension, quelques essais conduisent à la solution (correspondant au polygone 4 du tableau)

  dimensions, en cm :     10 et 1  10 et 2  10 et 3  10 et 2,5
  aire, en cm2 :             10       20       30       25
  périmètre, en cm :         22       24       26       25

- Procéder par équations avec des rectangles dont on fixe une dimension et on fait varier l’autre

par exemple, si on choisit 7, pour trouver le rectangle dont un des côtés mesure a = 7 cm et l’autre est à déterminer, on écrit les relations p = 14 + 2b et A = 7b dont on déduit 5b = 14, d’où b = 14/5 = 2,8.

- D’une façon plus générale, par voie algébrique, écrire les conditions p = 2(a + b), A = ab et p = A, ce qui donne l’équation ab = 2(a + b) ou b = 2a/(a – 2) dont les solutions sont, pour les valeurs entières de a :

  a  1  2  3  4   5   6   7    8    9    10  …  …
  b -1  -  6  4 10/3  3  2,8  8/3 18/7  2,5		

L’inventaire ci-dessus donne les dimensions possibles :

pour le polygone 5 : (5 ; 10/3), (7 ; 2,8), (8 ; 8/3), (9 ; 18/7), …

pour le polygone 6 : (3 ; 6) ou (6 ; 3)

pour le polygone 7 : (4 ; 4) qu’on aurait aussi pu trouver en résolvant directement l’équation a2 = 4a, tirée de ab = 2(a + b) en posant a = b

Notions mathématiques

géométrie, rectangle, quadrilatère, longueur, largeur, périmètre, aire, mesure,

Résultats

24.I.18

Points attribués, sur 316 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (un couple correct en ligne 5 ; (3 et 6) en ligne 6 et (4 et 4 en ligne 7 avec des explications claires et complètes : tableau de valeurs, équations ou liste des essais, ou vérifications pour chaque ligne
• 3 points: Réponse correcte (les trois lignes) sans explications ou explications pour une ou deux lignes seulement
  ou réponse correcte pour la ligne 5 et une des deux autres, avec explications claires
• 2 points: Réponse correcte pour la ligne 5 et une des deux autres, sans explication
  ou réponse correcte pour les deux lignes 6 et 7 avec explications claires
  ou réponse correcte pour la ligne 5, avec explications
• 1 point: Début de recherche cohérente (une seule ligne)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Pas d'analyse a posteriori pour l'instant