Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTgm12-fr |
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Trouver le temps de parcours de 10 tours de piste d’athlétisme au rythme de 4 tours de piste en une demi-heure.
- Percevoir les deux grandeurs en jeu : les nombres de tours de piste et le temps et les valeurs respectives données : 4 et 10 et une demi-heure.
- Connaître les rapports entre les durées exprimées en heures et en minutes : la moitié d’une demi-heure ou 30 minutes est un quart d’heure ou 15 minutes.
- Comprendre que « au même rythme » signifie qu’en une demi-heure, Jeanne fait toujours 4 tours de piste et en déduire que : 8 tours de piste sont parcourus en deux demi-heures ou une heure et que 2 tours de piste sont parcourus en un quart d’heure ou 15 minutes.
- Décomposer les 10 tours de piste en 4 + 4 + 2 et effectuer les opérations correspondantes 30 + 30 + 15 = 75 (en minutes) ou deux demi-heures et quart d’heure font une heure et quart (½ + ½ + ¼ = 1 + ¼, en heures)
- ou calculer la durée d’un tour 30 : 4 = 7,5 (en minutes) et la durées des 10 tours : 7,5 × 10 = 75 (en minutes)
arithmétique, addition, soustraction, nombre relatif, compensation, déduction, nombre naturel, somme, différence, composition, transformation, état initial, état final
Points attribués, sur 1254 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 83 (15%) | 29 (5%) | 14 (3%) | 108 (20%) | 314 (57%) | 548 | 2.99 |
| Cat 4 | 55 (8%) | 22 (3%) | 12 (2%) | 119 (17%) | 498 (71%) | 706 | 3.39 |
| Total | 138 (11%) | 51 (4%) | 26 (2%) | 227 (18%) | 812 (65%) | 1254 | 3.22 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
La bonne réussite du problème (85% de réponses correctes) témoigne d’une maîtrise « naturelle » des opérations sur les heures, demi-heures et quarts d’heure avec les passages respectifs aux 60, 30 et 15 minutes.
Les procédures observées sont de deux types :
- on multiplie ou divise par 2 les nombres de tours et les durées : 4 tours en une demi-heure ou 30 minutes ; 8 tours en une heure ou 60 minutes ; 2 tours en un quart d’heure u 15 minutes et on additionne. Ces procédures se reconnaissent aux additions 30 + 30 + 15 = 75, suivies en général d’une transformation en heures et aux décompositions de 10 = 4 + 4 +
- on procède par « passage à l’unité » qui se reconnaît par la division 30 : 4 = 7,5 suivie de 7,5 × 10 = 75.
Ces deux procédures sont cependant exprimées de manières très différentes.
Parfois avec progression chronologique par séquences de 4 tours et décompositions
- Elle mettra une heure 15 pour faire 10 tours : 4 tours + 4 tours = 8 tours = 1 heure + 2 tours = 1 heure 15.
Parfois avec passage aux minutes et correspondance avec les tours :
- Jeanne mettra une heure quinze pour faire 10 tours :
30 + 30 + 15 = 75 minutes 75 = 1 heure 15
4 tours 4 tours 2 tours
- 1) On s’est aidé de la montre
2) On a déjà fait 4 tours + 4 tours et on a vu que ça fait une heure, on a rajouté 2 tours et on a fait le calcul
4t + 4t + 2t = 1 h 15 parce que la moitié d’une demi-heure c’est 15 minutes.
Parfois avec des écritures où les deux grandeurs sont distinguées dans leur disposition sur la page:
- 30 min = 4 tours
1 h = 8 tours
15 min = 2 tours
1h + 15 min = 10 tours
Jeanne mettra 1h15 pour faire 10 tours
Parfois les divisions sont notées explicitement
- 4 : 2 = 2 30 : 2 = 15 30 + 30 + 15 = 1 H et quart
On relève aussi des dessins de cadrans et des explications qui témoignent du niveau de construction des rapports entre les heures et les minutes :
Au travers des explications, on relève de nombreuses écritures des heures minutes et secondes aux « orthographies » non encore conventionnelles :
- Il faut 7 min 30 secondes par tour, Calcul : 10 × 7 min 30 secondes = 75 min suivi d’une suite de 10 termes 7,30 : 7,30 7,30 7,30 …. 7,30 = 75
Les erreurs, rares, sont dues aux rapports approximatifs entre heures et minutes : 1h 10 minutes ou 1h 20 minutes ou encore à la simple prise en compte des trois valeurs données 4, 10 et 30 sans avoir perçu les deux grandeurs en présence comme dans les multiplication par 10 × 15 = 150 ou 10 × 30 = 300 ou 4 × 30 = 120.
Ce problème se situe, pour l’adulte, dans le domaine de la proportionalité. Il s’agit de ce qu’on appelle parfois la « recherche de la quatrième proportionnelle » connaissant les trois autres données : une demi heure, 4 tours et 10 tours.
Pour les jeunes élèves, de catégorie 3 et 4, il serait prématuré de l’envisager dans ce cadre conceptuel ou d’institutionnaliser quoique ce soit, ni dans le termes, ni dans les opérations, ni dans les procédures.
Si le problème est facilement résolu, c’est en raison de ses données extrêmement simples, volontairement choisies pour que les élèves réussissent. Si, par exemple on remplaçait « 4 tours en une demi-heure » par « 8 tours en une demi-heure » la tâche serait déjà beaucoup plus difficile car elle exigerait une division par 4 ou par 8 des 30 minutes ou la reconnaissance de l’équivalence entre 1/4 et 2/8; elle serait impossible pour de jeunes élèves avec « 7 tours en une demi-heure » qui ne maîtrisent pas les opérations sur les nombres rationnels non cécimaux.
Sans aucune ambition d’institutionnalisation, on peut cependant tirer un grand profit d’une discussion collective sur les manières de résoudre ce problème :
- Mettre en évidence les deux grandeurs en présence : temps et nombre de tours ; constater qu’on pourrait déterminer la durée d’autres entraînements avec un nombre pair de tours, puis avec des nombres impairs, qui nécessitent la détermination de la durée d’un tour …
- Revoir et expliciter les relations entre heures et minutes, en particulier les demi-heures et les quarts d’heure, constater l’équivalence des écritures « 1 heure et quart », « 1 h 15 » et « 1 heure et 15 minutes » ; « 7,5 minutes » et « 7 minute et 30 seconde », …
- Constater l’importance du « même rythme », qui permet de calculer les durées pour n’importe quel nombre de tour et expliciter le lien « un tour en 7,5 minutes » qui sera reconnu, bien plus tard, comme le facteur de proportionnalité ou la « clé » de la relation entre durées et nombres de tours (passage par l’unité).
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