Triangoli bizzarri

Identificazione

Rally: 24.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GM, GP
Famiglia:

• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

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Sunto

Mostrare che non esiste un triangolo equilatero, il cui lato è un numero intero di centimetri, e per il quale l’area e il perimetro sono espressi, nelle rispettive unità di misura, dallo stesso numero.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Utilizzare il Teorema di Pitagora per calcolare l’altezza h di un triangolo equilatero di lato $n$, intero ($h = \frac{\sqrt{3}}{2} n$)

- Calcolare il perimetro e l’area del triangolo. Si trova: perimetro: $P = 3n$ ; area: $A =\frac{\sqrt{3}}{4} n^2$. Concludere che con n intero, l’area A non è un numero intero, quindi è differente da $P$.

- Scrivere l’equazione: $\frac{\sqrt{3}}{4} n^2 = 3n$ le cui soluzioni sono $n = 0$ o $n = 4 \sqrt{3}$ e concludere che questi due valori sono da scartare, perché da un lato $n > $0 e dall’altro n è un numero intero, mentre $4 \sqrt{3}$ non lo è.

Oppure procedere per tentativi sistematici, per esempio sotto forma di tabella:

Per $n = 6$, la misura dell’area è strettamente inferiore a quella del perimetro.

Per $n = 7$, la misura del perimetro è strettamente inferiore a quella dell’area.

Ciò ci permette di dedurre che non esiste un intero rispondente alla domanda posta.

Oppure, osservare, eventualmente dopo alcuni tentativi, che il perimetro è sempre un numero intero (prodotto di un numero intero per 3), mentre nel calcolo dell’area compare sempre $\sqrt{3}$ moltiplicata per un numero razionale e concludere quindi che i due numeri non possono essere uguali.

Oppure, rappresentare graficamente, per $x > 0$, le variazioni delle due funzioni $P(x) = 3x$ (semiretta) e $A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ (arco di parabola). Osservare che $P(x) = A(x)$ per un $x$ non intero compreso tra 6 e 7 e che per $x > 7$, i punti con la stessa ascissa sulla retta e sulla parabola si allontanano sempre di più, cosa che dimostra che non ci sono altri punti comuni.

Risultati

24.II.18

Punteggi attribuiti su 329 classi di 9 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (no) con giustificazione chiara che mette prima in evidenza la strategia geometrica con Pitagora poi quella algebrica, oppure per tentativi organizzati facenti riferimento alla misura dell’altezza del triangolo equilatero
• 3 punti: Risposta corretta basata su più tentativi che non mettono chiaramente in evidenza l’impossibilità
  oppure risposta errata (sì, il lato misura 7 cm, per approssimazione di $4 \sqrt{3}$) con spiegazioni chiare
• 2 punti: Un numero di tentativi compreso tra 3 e 5.
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (calcolo di almeno un’area e un perimetro).
• 0 punto: Incomprensione del problema o risposta corretta senza spiegazione.