|
Banca di problemi del RMTgm14-it |
|
Mostrare che non esiste un triangolo equilatero, il cui lato è un numero intero di centimetri, e per il quale l’area e il perimetro sono espressi, nelle rispettive unità di misura, dallo stesso numero.
Analisi a priori:
- Utilizzare il Teorema di Pitagora per calcolare l’altezza h di un triangolo equilatero di lato $n$, intero ($h = \frac{\sqrt{3}}{2} n$)
- Calcolare il perimetro e l’area del triangolo. Si trova: perimetro: $P = 3n$ ; area: $A =\frac{\sqrt{3}}{4} n^2$. Concludere che con n intero, l’area A non è un numero intero, quindi è differente da $P$.
- Scrivere l’equazione: $\frac{\sqrt{3}}{4} n^2 = 3n$ le cui soluzioni sono $n = 0$ o $n = 4 \sqrt{3}$ e concludere che questi due valori sono da scartare, perché da un lato $n > $0 e dall’altro n è un numero intero, mentre $4 \sqrt{3}$ non lo è.
Oppure procedere per tentativi sistematici, per esempio sotto forma di tabella:
Per $n = 6$, la misura dell’area è strettamente inferiore a quella del perimetro.
Per $n = 7$, la misura del perimetro è strettamente inferiore a quella dell’area.
Ciò ci permette di dedurre che non esiste un intero rispondente alla domanda posta.
Oppure, osservare, eventualmente dopo alcuni tentativi, che il perimetro è sempre un numero intero (prodotto di un numero intero per 3), mentre nel calcolo dell’area compare sempre $\sqrt{3}$ moltiplicata per un numero razionale e concludere quindi che i due numeri non possono essere uguali.
Oppure, rappresentare graficamente, per $x > 0$, le variazioni delle due funzioni $P(x) = 3x$ (semiretta) e $A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ (arco di parabola). Osservare che $P(x) = A(x)$ per un $x$ non intero compreso tra 6 e 7 e che per $x > 7$, i punti con la stessa ascissa sulla retta e sulla parabola si allontanano sempre di più, cosa che dimostra che non ci sono altri punti comuni.
Punteggi attribuiti su 329 classi di 9 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 85 (50%) | 39 (23%) | 7 (4%) | 21 (12%) | 18 (11%) | 170 | 1.11 |
Cat 10 | 69 (43%) | 32 (20%) | 7 (4%) | 12 (8%) | 39 (25%) | 159 | 1.5 |
Totale | 154 (47%) | 71 (22%) | 14 (4%) | 33 (10%) | 57 (17%) | 329 | 1.29 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2016-2024