ARMT

Banca di problemi del RMT

gm14-it

centre

Triangoli bizzarri

Identificazione

Rally: 24.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GM, GP
Famiglia:

Remarque et suggestion

Sunto

Mostrare che non esiste un triangolo equilatero, il cui lato è un numero intero di centimetri, e per il quale l’area e il perimetro sono espressi, nelle rispettive unità di misura, dallo stesso numero.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Utilizzare il Teorema di Pitagora per calcolare l’altezza h di un triangolo equilatero di lato $n$, intero ($h = \frac{\sqrt{3}}{2} n$)

- Calcolare il perimetro e l’area del triangolo. Si trova: perimetro: $P = 3n$ ; area: $A =\frac{\sqrt{3}}{4} n^2$. Concludere che con n intero, l’area A non è un numero intero, quindi è differente da $P$.

- Scrivere l’equazione: $\frac{\sqrt{3}}{4} n^2 = 3n$ le cui soluzioni sono $n = 0$ o $n = 4 \sqrt{3}$ e concludere che questi due valori sono da scartare, perché da un lato $n > $0 e dall’altro n è un numero intero, mentre $4 \sqrt{3}$ non lo è.

Oppure procedere per tentativi sistematici, per esempio sotto forma di tabella:


Per $n = 6$, la misura dell’area è strettamente inferiore a quella del perimetro.

Per $n = 7$, la misura del perimetro è strettamente inferiore a quella dell’area.

Ciò ci permette di dedurre che non esiste un intero rispondente alla domanda posta.

Oppure, osservare, eventualmente dopo alcuni tentativi, che il perimetro è sempre un numero intero (prodotto di un numero intero per 3), mentre nel calcolo dell’area compare sempre $\sqrt{3}$ moltiplicata per un numero razionale e concludere quindi che i due numeri non possono essere uguali.

Oppure, rappresentare graficamente, per $x > 0$, le variazioni delle due funzioni $P(x) = 3x$ (semiretta) e $A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ (arco di parabola). Osservare che $P(x) = A(x)$ per un $x$ non intero compreso tra 6 e 7 e che per $x > 7$, i punti con la stessa ascissa sulla retta e sulla parabola si allontanano sempre di più, cosa che dimostra che non ci sono altri punti comuni.

Risultati

24.II.18

Punteggi attribuiti su 329 classi di 9 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 985 (50%)39 (23%)7 (4%)21 (12%)18 (11%)1701.11
Cat 1069 (43%)32 (20%)7 (4%)12 (8%)39 (25%)1591.5
Totale154 (47%)71 (22%)14 (4%)33 (10%)57 (17%)3291.29
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

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