La vache dans le verger (II)

Identification

Rallye: 25.I.07 ; catégories: 5, 6 ; domaines: GM, GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

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Résumé

Dessiner sur un réseau pointillé à maille carrée des (deux) polygones de même périmètre qu’un polygone donné, composé de 4 côtés de carrés du réseau et de 4 diagonales, mais d’aires de plus en plus grandes.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Interpréter le plan du verger : y repérer les arbres, les barres de longueurs différentes et les différents enclos.

- Observer les contours des enclos et reconnaître qu’il y a deux sortes de barres, celles dont la longueur correspond à un « côté » de la maille carrée et celles dont la longueur correspond à une « diagonale ». Constater que chaque contour d’enclos est composé de quatre barres de chacune des deux sortes.

- Comprendre que « ce qu’il y a à brouter » dans l’enclos ou « plus grand » se réfère à l’aire de l’enclos, que la forme de l’enclos peut changer mais que le périmètre doit rester le même.

- Vérifier sur les deux enclos dessinés que le périmètre est le même et comparer leurs aires. Pour cela, trouver que les aires des enclos peuvent s’exprimer en « carrés » et/ou en « triangles » (un triangle est la moitié d’un carré). Par exemple, l’aire du lundi vaut 2 carrés entiers et 4 triangles, celle du mardi de 3 carrés entiers et 4 triangles. L’aire de l’enclos du mardi est effectivement plus grande que celle de l’enclos du lundi.

Stratégies de résolution :

- Dessiner de façon aléatoire un enclos pour mercredi de forme différente des deux premiers, le retenir si son périmètre est égal à 4 barres longues et 4 courtes. Déterminer son aire et le retenir si elle est supérieure à celle de l’enclos du mardi.
Recommencer de la même manière pour l’enclos pour jeudi.

- Chercher à réaliser un enclos délimité par 4 grandes barres et 4 petites. Procéder ensuite comme précédemment pour l’aire.

- Chercher deux enclos d’aires plus grandes que celle de l’enclos de mardi par une des deux méthodes précédentes et les ranger ensuite selon leurs aires. Celui de plus grande aire sera celui pour jeudi et l’autre pour mercredi.

- Chercher à réaliser un enclos en tenant simultanément les deux contraintes sur le périmètre et l’aire : 4 barres longues et 4 courtes et à l’intérieur plus de 3 carrés et 4 triangles ou une surface équivalente à 5 carrés ou 10 triangles. Recommencer jusqu’à en obtenir deux d’aires différentes et les ranger suivant leurs aires.

Quelques solutions pour le mercredi (A, B, C, D) et la solution pour le jeudi (E)

- Donner une explication montrant qu’il y a un comptage des carrés ou triangles ou nombre de points intérieurs (selon le théorème de Pick, l’aire en carrés vaut le nombre de points intérieurs + la moitié du nombre de points sur la frontière – 1. Les élèves ne peuvent pas le savoir, mais l’intuition « plus il y a d’arbres à l’intérieur, plus grande est l’aire » est à accepter comme explication).

Notions mathématiques

aire, polygone, côté, diagonale, unité, carré, quadrillage, réseau, périmètre, comparaison

Résultats

25.I.07

Points attribués, sur 2331 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète (deux figures trouvées avec l’aire en progression et respect des longueurs des barres de bois, correctement affectées à chacun des jours), avec explications claires (littérales ou dessins avec dénombrement des carrés entiers et demi-carrés)
• 3 points: Réponse complète (deux figures dessinées avec l’aire en progression et respect des longueurs) mais sans affectation des jours ou sans explication ou sans dénombrement des carrés entiers et demi-carrés
• 2 points: Une seule figure ou deux figures de même aire vérifiant les conditions sur la longueur du contour et sur l’aire en progression par rapport à mardi, et au plus une figure erronée vérifiant au moins une des conditions sur le périmètre ou l’aire.
• 1 point: Une ou deux figures avec l’aire en progression par rapport à mardi mais ne vérifiant pas les conditions sur le périmètre
• 0 point: Incompréhension du problème, non-réponse