Une étrange figure

Identification

Rallye: 25.I.20 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• FOR - Utiliser une formule
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

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Résumé

Comparer les aires d’un segment circulaire et d’une partie d’un secteur de disque déterminés par une droite passant par l’extrémité et le milieu d’un demi-cercle et par le diamètre du demi-cercle.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Analyser la figure, constater qu’aucune de ses trois parties (les deux grises et la blanche) n’est une figure « connue » dont on a appris à calculer l’aire, mais que la partie blanche et la partie grise de droite forment un demi-disque (dont le centre est au milieu du diamètre) et que la partie blanche et la partie grise de gauche forment un secteur de disque (dont le centre est l’extrémité droite du segment de base et dont le rayon est le double du précédent).

- Imaginer (ou tracer) le rayon du demi-disque OM. Il fait apparaître un triangle, rectangle et isocèle (demi carré dont le côté est le rayon du demi-disque) et constater que le segment de disque MNB (partie coloriée par Charles) et le triangle BOM forment le quart de disque BOM.

- La partie coloriée d’Anne (à gauche) le quart de disque (de gauche) et le triangle rectangle BOM forment un secteur de disque, de centre B, dont l’angle est 45 degrés. L’aire de ce secteur de disque est donc le 1/8 de l’aire du grand disque (45/360).

- Tirer des observations précédentes les relations arithmétiques qui permettront de calculer les aires demandées :

• aire de la partie de Charles : aire du quart de disque – aire du triangle
• aire de la partie d’Anne : aire du secteur ADB – aire d’un quart de disque – aire du triangle BOM

- Avant de passer aux calculs, se rendre compte que les dimensions de la figure ne sont pas données mais qu’elles ne sont pas indispensables car la comparaison donnera les mêmes résultats que la figure soit petite ou grande. Par conséquent on peut choisir le rayon du cercle : par exemple 1 (en mètres, décimètres, centimètres ou toute autre unité) ou le désigner par une lettre de façon générique : par exemple r.

- Effectuer les calculs avec un petit disque de rayon 1:

• pour Charles : π/4 – ½
• pour Anne : 4π/8 – π/4 – ½ = π/4 – ½

et constater que les deux aires sont égales.

Ou : mesurer les rayons des deux disques sur le dessin et effectuer les calculs à partir de ces approximations.

Ou : constater que le demi-disque et le huitième de disque de rayon double ont la même aire ( π/2 = 4π/8 ou πr²/2 = 4πr²/8 ou encore, sans écriture littérale : « la moitié de l’aire d’un carré multiplié par π est égale au huitième du quadruple de l’aire du carré multiplié par π »). La figure 2 représente ces deux surfaces équivalentes posées l’une sur l’autre : ce qui dépasse à gauche est évidemment équivalent à ce qui dépasse à droite. Il est alors inutile de calculer l’aire des parties grises.

Notions mathématiques

aires, segment circulaire, secteur de disque, droite, demi-cercle, diamètre

Résultats

25.I.20

Points attribués, sur 363 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (les deux parties grises sont équivalentes) avec explications claires et complètes (montrant que l’angle du secteur du grand disque vaut 45 degrés, calculs des aires par soustractions pour obtenir π/4 – ½ ou expressions analogues en fonction du choix du rayon, ou justification de la reconnaissance de l’équivalence des deux secteurs et équivalence des aires grises par compensation)
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires ou incomplètes (équivalence fondée sur des approximations de π/4 – ½, l’angle de 45 degrés ou l’équivalence des deux secteurs ne sont pas expliqués, les soustractions ne sont pas mentionnées)
  ou reconnaissance des relations arithmétiques entre les aires des quatre parties de la figure mais calcul correct de l’aire de Charles seulement et 1/8 de disque.
• 2 points: Réponse erronée à cause d’une seule erreur de calcul des aires, avec explications claires et complètes
  ou reconnaissance des relations arithmétiques entre les aires de la figure mais calcul correct de l’aire de Charles seulement
• 1 point: Réponse correcte (les deux parties grises sont équivalentes) sans explications ni justifications
  ou calcul de l’aire de Charles sans aucune explication
  ou calcul de l’aire du 1/8 de disque seulement
  ou début de recherche cohérent (par exemple tracé du seulement OM et reconnaissance du triangle isocèle ou description verbale des deux zones à comparer
• 0 point: Incompréhension du problème