Una strana figura

Identificazione

Rally: 25.I.20 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GM
Famiglie:

• FOR - Utilizzare una formula
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri
• RD/CP - Confrontare aree e/o perimetri

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Sunto

Confrontare le aree di un segmento circolare e di una parte di un settore di un cerchio determinati da una retta passante per l’estremità del diametro di un semicerchio e per il punto medio della relativa semicirconferenza e dal diametro della semicirconferenza.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Analizzare la figura, constatare che ognuna delle sue tre parti (le due grigie e quella bianca) individua una figura non « comune » di cui non è semplice calcolare l’area.

- Osservare che la parte bianca e la parte grigia di destra formano un semicerchio e che la parte bianca e la parte grigia di sinistra formano un settore di cerchio il cui centro è l’estremità destra del segmento circolare e il raggio è il diametro della semicirconferenza tracciata da Carlo

- Tracciare il raggio OM: si forma un triangolo rettangolo isoscele (metà quadrato il cui lato è il raggio del cerchio) e constatare che il segmento circolare MNB (parte colorata da Carlo) e il triangolo BOM formano un quarto di cerchio.

- Per la parte colorata da Anna si osserva che aggiungendo ad essa il quarto di cerchio e un triangolo rettangolo isoscele si ottiene il settore circolare di raggio AB che è 1/8 del cerchio di cui fa parte poiché il corrispondente angolo al centro misura 45° essendo angolo di un triangolo isoscele rettangolo.

- Dalle osservazioni precedenti ricavare le relazioni aritmetiche che permettono di calcolare le aree richieste:

• area della parte di Carlo: area di un quarto di cerchio – area del triangolo BOM
• area della parte di Anna: (area del segmento ADB – area di un quarto di cerchio) – area del triangolo BOM

- Passare ai calcoli e rendersi conto che le dimensioni della figura non sono state assegnate, ma che non sono indispensabili per il confronto e si arriverà alla stessa conclusione sia in una figura “piccola” che “grande”. Di conseguenza scegliere un raggio per il cerchio, per esempio 1 (in metri, decimetri, centimetri o altra unità) o indicarlo con una lettera per esempio r.

- Effettuare i calcoli con raggio 1:

• per Carlo: π/4 – ½
• per Anna: 4π/8 – π/4 – ½ = π/4 – ½
• e costatare che le due aree sono uguali.

Oppure:

- Effettuare misurazioni sul disegno ed effettuare i calcoli a partire da queste approssimazioni

Oppure:

- Costatare che il semicerchio e il settore circolare di raggio doppio hanno la stessa area ( π/2 = 4π/8 o πr2/2 = 4πr2/8 o ancora, senza scrittura letterale: « la metà dell’area di un quadrato moltiplicata per π è uguale all’ottava parte del quadruplo dell’area di un quadrato moltiplicato per π »). La figura 2 mostra queste due superfici equivalenti sovrapposte e le due parti grigie risultano così equivalenti per differenza perché si ottengono dalle precedenti togliendo la parte comune APMB.

Risultati

25.I.20

Punteggi attribuiti su 363 classi di 9 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (le due figure colorate sono equivalenti) con spiegazioni chiare e complete (determinato la misura, 45°, dell’angolo del settore circolare, calcolate le aree per sottrazione ottenendo π/4 – ½ o espressioni analoghe a seconda della scelta del raggio o giustificazione del riconoscimento dell’equivalenza delle parti grigie per differenza di figure equivalenti)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni poco chiare o incomplete (equivalenza ricavata da approssimazioni di π/4 – ½ oppure l’angolo di 45° non è esplicitato
  oppure non si fa cenno all’equivalenza del settore e del semicerchio)
  oppure riconosciute le relazioni aritmetiche fra le aree delle quattro parti delle figure, ma calcolata correttamente solo l’area della zona di Carlo e l’area del settore circolare
• 2 punti: Risposta errata a causa di un solo errore nel calcolo delle aree, con spiegazioni chiare e complete
  oppure riconosciute le relazioni aritmetiche fra le varie parti delle figure, ma calcolata solo la parte di Carlo
• 1 punto: Risposta corretta senza spiegazione né giustificazione
  oppure calcolata solo l’area della zona di Carlo senza alcuna spiegazione
  oppure calcolata solo l’area del settore circolare
  oppure inizio di ricerca coerente (ad esempio tracciato il segmento OM e riconosciuti i triangoli isosceli oppure spiegate a parole le due zone da confrontare)
• 0 punto: Incomprensione del problema