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Banca di problemi del RMT

gm19-it

centre

Una strana figura

Identificazione

Rally: 25.I.20 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GM
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Confrontare le aree di un segmento circolare e di una parte di un settore di un cerchio determinati da una retta passante per l’estremità del diametro di un semicerchio e per il punto medio della relativa semicirconferenza e dal diametro della semicirconferenza.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Analizzare la figura, constatare che ognuna delle sue tre parti (le due grigie e quella bianca) individua una figura non « comune » di cui non è semplice calcolare l’area.

- Osservare che la parte bianca e la parte grigia di destra formano un semicerchio e che la parte bianca e la parte grigia di sinistra formano un settore di cerchio il cui centro è l’estremità destra del segmento circolare e il raggio è il diametro della semicirconferenza tracciata da Carlo

- Tracciare il raggio OM: si forma un triangolo rettangolo isoscele (metà quadrato il cui lato è il raggio del cerchio) e constatare che il segmento circolare MNB (parte colorata da Carlo) e il triangolo BOM formano un quarto di cerchio.


- Per la parte colorata da Anna si osserva che aggiungendo ad essa il quarto di cerchio e un triangolo rettangolo isoscele si ottiene il settore circolare di raggio AB che è 1/8 del cerchio di cui fa parte poiché il corrispondente angolo al centro misura 45° essendo angolo di un triangolo isoscele rettangolo.

- Dalle osservazioni precedenti ricavare le relazioni aritmetiche che permettono di calcolare le aree richieste:

- Passare ai calcoli e rendersi conto che le dimensioni della figura non sono state assegnate, ma che non sono indispensabili per il confronto e si arriverà alla stessa conclusione sia in una figura “piccola” che “grande”. Di conseguenza scegliere un raggio per il cerchio, per esempio 1 (in metri, decimetri, centimetri o altra unità) o indicarlo con una lettera per esempio r.

- Effettuare i calcoli con raggio 1:

Oppure:

- Effettuare misurazioni sul disegno ed effettuare i calcoli a partire da queste approssimazioni

Oppure:

- Costatare che il semicerchio e il settore circolare di raggio doppio hanno la stessa area ( π/2 = 4π/8 o πr2/2 = 4πr2/8 o ancora, senza scrittura letterale: « la metà dell’area di un quadrato moltiplicata per π è uguale all’ottava parte del quadruplo dell’area di un quadrato moltiplicato per π »). La figura 2 mostra queste due superfici equivalenti sovrapposte e le due parti grigie risultano così equivalenti per differenza perché si ottengono dalle precedenti togliendo la parte comune APMB.

Risultati

25.I.20

Punteggi attribuiti su 363 classi di 9 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 9101 (52%)39 (20%)14 (7%)18 (9%)22 (11%)1941.08
Cat 1088 (52%)42 (25%)14 (8%)8 (5%)17 (10%)1690.96
Totale189 (52%)81 (22%)28 (8%)26 (7%)39 (11%)3631.02
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

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