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Banca di problemi del RMTgm19-it |
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Confrontare le aree di un segmento circolare e di una parte di un settore di un cerchio determinati da una retta passante per l’estremità del diametro di un semicerchio e per il punto medio della relativa semicirconferenza e dal diametro della semicirconferenza.
- Analizzare la figura, constatare che ognuna delle sue tre parti (le due grigie e quella bianca) individua una figura non « comune » di cui non è semplice calcolare l’area.
- Osservare che la parte bianca e la parte grigia di destra formano un semicerchio e che la parte bianca e la parte grigia di sinistra formano un settore di cerchio il cui centro è l’estremità destra del segmento circolare e il raggio è il diametro della semicirconferenza tracciata da Carlo
- Tracciare il raggio OM: si forma un triangolo rettangolo isoscele (metà quadrato il cui lato è il raggio del cerchio) e constatare che il segmento circolare MNB (parte colorata da Carlo) e il triangolo BOM formano un quarto di cerchio.
- Per la parte colorata da Anna si osserva che aggiungendo ad essa il quarto di cerchio e un triangolo rettangolo isoscele si ottiene il settore circolare di raggio AB che è 1/8 del cerchio di cui fa parte poiché il corrispondente angolo al centro misura 45° essendo angolo di un triangolo isoscele rettangolo.
- Dalle osservazioni precedenti ricavare le relazioni aritmetiche che permettono di calcolare le aree richieste:
- Passare ai calcoli e rendersi conto che le dimensioni della figura non sono state assegnate, ma che non sono indispensabili per il confronto e si arriverà alla stessa conclusione sia in una figura “piccola” che “grande”. Di conseguenza scegliere un raggio per il cerchio, per esempio 1 (in metri, decimetri, centimetri o altra unità) o indicarlo con una lettera per esempio r.
- Effettuare i calcoli con raggio 1:
Oppure:
- Effettuare misurazioni sul disegno ed effettuare i calcoli a partire da queste approssimazioni
Oppure:
- Costatare che il semicerchio e il settore circolare di raggio doppio hanno la stessa area ( π/2 = 4π/8 o πr2/2 = 4πr2/8 o ancora, senza scrittura letterale: « la metà dell’area di un quadrato moltiplicata per π è uguale all’ottava parte del quadruplo dell’area di un quadrato moltiplicato per π »). La figura 2 mostra queste due superfici equivalenti sovrapposte e le due parti grigie risultano così equivalenti per differenza perché si ottengono dalle precedenti togliendo la parte comune APMB.
Punteggi attribuiti su 363 classi di 9 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 9 | 101 (52%) | 39 (20%) | 14 (7%) | 18 (9%) | 22 (11%) | 194 | 1.08 |
Cat 10 | 88 (52%) | 42 (25%) | 14 (8%) | 8 (5%) | 17 (10%) | 169 | 0.96 |
Totale | 189 (52%) | 81 (22%) | 28 (8%) | 26 (7%) | 39 (11%) | 363 | 1.02 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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