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Un col des Alpes en vélo

Identification

Rallye: 25.II.17 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

Résumé

Déterminer la vitesse moyenne d’un mobile sur une partie d’un parcours connaissant les vitesses moyennes sur la partie complémentaire de ce parcours et sur le parcours entier.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que pour trouver la vitesse du cycliste sur les 12 km de descente, il faut connaître le temps qu’il met pour faire cette descente.

- Remarquer que l’on peut connaître ce temps de descente si on connaît le temps de montée et le temps mis pour faire l’aller et retour.

Résolution par calcul du temps de descente

- Pour monter le col, le cycliste a fait 12 km à la vitesse de 20 km/h. Il monte donc 1 km en 1/20è d’heure et a donc mis 12/20 = 0,6 h (soit 36 min).

- Pour faire les 24 km de l’aller et retour à la vitesse moyenne de 30 km/h, il doit mettre 24/30 = 0,8 h = 48 min. Il doit donc faire la descente en 0,8 – 0,6 = 0,2 h = 12 min.

- Il doit donc faire les 12 km de descente à la vitesse de 12/0,2 = 60 km/h.

Ou bien, résolution par essais

D’après ce tableau, la seule réponse possible est 60 km/h.

Ou bien, résolution algébrique

- Connaître la relation entre la distance d parcourue par un mobile, son temps de parcours t et sa vitesse moyenne v sur ce parcours : d = v t.

- Comprendre ou vérifier par le calcul que la vitesse moyenne sur le parcours ne peut être égale à la moyenne des vitesses sur les 2 portions complémentaires.

- Si on note t_d le temps en heure mis par le cycliste pour descendre les 12 km de ce col et si on note v_d la vitesse moyenne demandée en km/h, on a : d = v_d t_d.

- On souhaite faire l’aller et le retour, 24 km, à la vitesse moyenne v = 30 km/h. On a donc 2d = v (t_m + t_d), ce qui donne : 24 = 30 (0,6 + t_d), d’où t_d = 24/30 – 0,6 = 0,2 et v_d = 12/t_d = 12/0,2 = 60. La vitesse demandée est 60 km/h.

Notions mathématiques

vitesse, vitesse moyenne, temps, distance

Résultats

25.II.17

Points attribués, sur 372 classes de 9 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 9	145 (74%)	21 (11%)	5 (3%)	3 (2%)	23 (12%)	197	0.67
Cat 10	109 (62%)	20 (11%)	5 (3%)	4 (2%)	37 (21%)	175	1.09
Total	254 (68%)	41 (11%)	10 (3%)	7 (2%)	60 (16%)	372	0.87
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (60 km/h) avec explications claires
3 points: Réponse correcte avec explications peu claires ou erreur numérique dans un calcul
ou réponse correcte avec essais mal organisés
2 points: Réponse correcte sans explication
1 point: Début de raisonnement correct : au moins le calcul du temps mis par le cycliste pour monter le col
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT