Banque de problèmes du RMT
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Évaluer l’aire d’une figure dont le contour comprend des arcs de cercle dont on donne une représentation à l’échelle sur un quadrillage
Analyse a priori
- Se rendre compte que l’on doit calculer approximativement l’aire d’un pi grec en évaluant le nombre de carreaux qui sont occupés par la figure.
- Observer qu'une partie de la figure peut être décomposée en deux rectangles de 9 × 2 carreaux (36 cm2) et un rectangle de 10 x 2 carreaux (20 cm2) pour un total de 56 cm2. Rechercher des stratégies pour évaluer l’aire de la partie curviligne du pi grec :
- Découper et déplacer les pièces de l'image pour remplir les parties vides et obtenir une figure plus régulière. Ce type de raisonnement devrait conduire à la conclusion que l’aire de la figure est d'environ 7 carreaux.
Ou bien :
- Remplacer les lignes courbes par des segments et calculer l'aire d'un polygone qui se rapproche de la figure irrégulière, dans cet exemple, 7 carreaux :
Ou bien:
- Compter les carreaux à l'intérieur de la figure : carreaux entiers ou fractionnés, et obtenir une valeur approximative d'environ 6 carreaux et demi à 7 carreaux.
Ou bien :
Calculer l’aire d’un quart de cercle de rayon 4 cm et supprimer la partie de la face inférieure, comprise entre 5 et 6 carreaux. On obtient une valeur comprise entre π x 16/4 – 6 et π x 16/4 – 5, soit avec π ≈ 3,14 entre 6,56 cm2 et 7,56 cm2.
Ou bien:
- Calculer l’aire de la surface curviligne, en déterminant par approximation le centre I du second arc de cercle et contrôler que I coïncide avec un nœud du quadrillage. L’hypoténuse du triangle rectangle ADI mesure 5 longueurs de côté de carreau (triplet pythagoricien) de même que la longueur CI. AC est donc un arc de cercle de centre I et de rayon 5.
- Puis mesurer l’angle AIC voisin de 53°, calculer l’aire du secteur de disque correspondant : π x 52 x 53/360 qui est peu différent de 11,56 cm2.
A cette aire retirer l’aire du triangle AID : (4 x 3) / 2 = 6 cm2 . On obtient ainsi l’aire à retirer au quart de disque DAB : 5,56 cm2
L’aire de la surface curviligne est donc voisine de 4 π – 5,56 ou encore 12,56 – 5, 56 = 7 (en cm2).
Et donc l’aire du grand Pi est voisine de 56 + 7 = 63 (en cm2).
- Les diverses méthodes pour le calcul de la partie curviligne devraient conduire à une aire proche de 7 cm2, donc une aire totale pour le pi grec sur le quadrillage d'environ 63 cm2.
- Considérer que le rapport entre la figure sur le mur et celle sur le quadrillage est de 200 : 11 et par conséquent qu’entre les aires des deux figures il est de 2002 : 112 ≈ 330,58.
- Trouver que la surface à peindre est d'environ 63 × 330,58 ≈ 20 827 cm2, par conséquent, plus de 2 m2. Une évaluation plus petite de l’aire du contour incurvé de 6 cm2 ou même 5 cm2, conduirait à la même conclusion d'une surface à peindre de plus de 2 m2.
- Conclure que, dans tous les cas, deux pots de peinture ne seront pas suffisants pour peindre le pi grec entièrement.
Ou bien:
Raisonner inversement : deux pots de peinture permettent de peindre 2 m2, soit 20 000 cm2. Appliquant le rapport entre les aires (11/200)2 à l’aire sur le dessin cela donne 60,5 cm2. Comme la partie régulière de la figure occupe 56 cm2, il ne reste que 4,5 cm2 pour la partie irrégulière, ce qui est évidemment insuffisant.
Ou bien:
Travailler directement sur le dessin exécuté sur le mur en l’imaginant inclus sur un quadrillage dont le côté mesure 18,15 cm (≈ 200 : 11)
aire, arc de cercle, échelle
Points attribués, sur 40 classes de 6 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 8 (35%) | 7 (30%) | 3 (13%) | 4 (17%) | 1 (4%) | 23 | 1.26 |
| Cat 10 | 6 (35%) | 3 (18%) | 1 (6%) | 0 (0%) | 7 (41%) | 17 | 1.94 |
| Total | 14 (35%) | 10 (25%) | 4 (10%) | 4 (10%) | 8 (20%) | 40 | 1.55 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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