Banca di problemi del RMT
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Il grande pi-grecoIdentificazioneRally: 25.F.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GMFamiglie:
Envoyer une remarque ou une suggestion SuntoValutare l’area di una figura, il cui contorno comprende anche archi di circonferenza, di cui è assegnata una rappresentazione in scala su una quadrettatura. Enunciato Compito per la risoluzione e saperi mobilizzatiAnalisi a priori - Rendersi conto che occorre calcolare con approssimazione l’area di pi-greco valutando quanti sono i quadretti che vengono occupati dalla figura. - Osservare che una parte della figura può essere scomposta in due rettangoli di 9×2 quadretti (36 cm2) e un rettangolo di 10×2 quadretti (20 cm2) per un totale di 56 cm2. - Cercare strategie per valutare l’area della parte curvilinea del pi-greco:  - Ritagliare e spostare pezzi della figura per riempire le parti vuote e ottenere una figura più regolare. Questo tipo di strategia dovrebbe portare a concludere che l’area della figura è di circa 7 quadretti. Oppure: Sostituire le linee curve con segmenti e calcolare l’area di un poligono che approssima la figura irregolare; in questo esempio: 7 quadretti.  Oppure: Contare i quadretti interni alla figura, quadretti interi o loro frazioni, ottenendo un valore approssimato di circa 6 quadretti e mezzo/7 quadretti. Oppure: Calcolare l’area di ¼ di cerchio di raggio 4 cm e togliere l’area della parte sottostante, compresa fra 5 quadretti e 6 quadretti. Si ottiene un valore compreso tra (π(16/4) - 6) e (π(16/4) - 5) cioè, approssimando π con 3,14, tra 6,56 e 7,56 (in cm2). Oppure: - Calcolare l’area della superficie curvilinea, determinando il centro I del secondo arco di cerchio per approssimazione e controllare poi che I coincide con un vertice della quadrettatura poiché l’ipotenusa del triangolo rettangolo ADI misura 5 lati di quadretto (terna pitagorica) così come la distanza CI e quindi AC è un arco della circonferenza di centro I e raggio 5 . - Misurare poi l’angolo AIC, circa 53°, calcolare l’area del settore circolare corrispondente: π × 52 × 53/360, che è circa 11,56 cm2. - Togliere da tale area l’area del triangolo AID: (4 × 3) / 2 = 6 cm2 Si ottiene così l’area da togliere al quarto di cerchio DAB: 5,56 cm2 L’area della superficie curvilinea è dunque circa 4π – 5,56 o anche 12,56 – 5, 56 = 7 (in cm2).  - I vari metodi per il calcolo della parte curvilinea dovrebbero portare ad un’area di circa 7 cm2, quindi un’area totale del pi-greco sulla quadrettatura di circa 63 cm2. - Considerare che il rapporto tra la figura sul muro e quella sulla quadrettatura è di 200 : 11 e che quindi quello tra le aree delle due figure è 2002 : 112 ≈ 330,58. - Trovare che l’area della superficie da dipingere è di circa 63 cm2 × 330,58 ≈ 20.827 cm2, dunque maggiore di 2 m2. Una valutazione inferiore dell’area della regione a contorno curvilineo, di 6 cm2 o addirittura di 5 cm2, porterebbe comunque ad un’area maggiore di 2 m2. - Concludere, in ogni caso, che due barattoli di colore non basteranno per dipingere tutto il pi-greco. Oppure ragionare a ritroso: con due barattoli di vernice si possono dipingere 2 m2 cioè 20000 cm2. Applicando il rapporto fra le aree (200/11)2, si ha un’area, sul disegno, di 60,5 cm2. Poiché la parte regolare della figura occupa 56 cm2, restano solo 4,5 cm2 per la parte irregolare, che risultano evidentemente insufficienti. Oppure: Lavorare direttamente sul disegno eseguito sul muro pensandolo inserito in una quadrettatura il cui lato misura 18,18 cm (≈ 200: 11). Risultati25.F.18Punteggi attribuiti su 40 classi di 6 sezioni:
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