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Banca di problemi del RMT

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Il grande pi-greco

Identificazione

Rally: 25.F.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GM
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Valutare l’area di una figura, il cui contorno comprende anche archi di circonferenza, di cui è assegnata una rappresentazione in scala su una quadrettatura.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Rendersi conto che occorre calcolare con approssimazione l’area di pi-greco valutando quanti sono i quadretti che vengono occupati dalla figura.

- Osservare che una parte della figura può essere scomposta in due rettangoli di 9×2 quadretti (36 cm2) e un rettangolo di 10×2 quadretti (20 cm2) per un totale di 56 cm2.

- Cercare strategie per valutare l’area della parte curvilinea del pi-greco:


- Ritagliare e spostare pezzi della figura per riempire le parti vuote e ottenere una figura più regolare. Questo tipo di strategia dovrebbe portare a concludere che l’area della figura è di circa 7 quadretti.

Oppure:

Sostituire le linee curve con segmenti e calcolare l’area di un poligono che approssima la figura irregolare; in questo esempio: 7 quadretti.


Oppure:

Contare i quadretti interni alla figura, quadretti interi o loro frazioni, ottenendo un valore approssimato di circa 6 quadretti e mezzo/7 quadretti.

Oppure:

Calcolare l’area di ¼ di cerchio di raggio 4 cm e togliere l’area della parte sottostante, compresa fra 5 quadretti e 6 quadretti. Si ottiene un valore compreso tra (π(16/4) - 6) e (π(16/4) - 5) cioè, approssimando π con 3,14, tra 6,56 e 7,56 (in cm2).

Oppure:

- Calcolare l’area della superficie curvilinea, determinando il centro I del secondo arco di cerchio per approssimazione e controllare poi che I coincide con un vertice della quadrettatura poiché l’ipotenusa del triangolo rettangolo ADI misura 5 lati di quadretto (terna pitagorica) così come la distanza CI e quindi AC è un arco della circonferenza di centro I e raggio 5 .

- Misurare poi l’angolo AIC, circa 53°, calcolare l’area del settore circolare corrispondente: π × 52 × 53/360, che è circa 11,56 cm2.

- Togliere da tale area l’area del triangolo AID: (4 × 3) / 2 = 6 cm2

Si ottiene così l’area da togliere al quarto di cerchio DAB: 5,56 cm2 L’area della superficie curvilinea è dunque circa 4π – 5,56 o anche 12,56 – 5, 56 = 7 (in cm2).


- I vari metodi per il calcolo della parte curvilinea dovrebbero portare ad un’area di circa 7 cm2, quindi un’area totale del pi-greco sulla quadrettatura di circa 63 cm2.

- Considerare che il rapporto tra la figura sul muro e quella sulla quadrettatura è di 200 : 11 e che quindi quello tra le aree delle due figure è 2002 : 112 ≈ 330,58.

- Trovare che l’area della superficie da dipingere è di circa 63 cm2 × 330,58 ≈ 20.827 cm2, dunque maggiore di 2 m2. Una valutazione inferiore dell’area della regione a contorno curvilineo, di 6 cm2 o addirittura di 5 cm2, porterebbe comunque ad un’area maggiore di 2 m2.

- Concludere, in ogni caso, che due barattoli di colore non basteranno per dipingere tutto il pi-greco.

Oppure ragionare a ritroso: con due barattoli di vernice si possono dipingere 2 m2 cioè 20000 cm2. Applicando il rapporto fra le aree (200/11)2, si ha un’area, sul disegno, di 60,5 cm2. Poiché la parte regolare della figura occupa 56 cm2, restano solo 4,5 cm2 per la parte irregolare, che risultano evidentemente insufficienti.

Oppure:

Lavorare direttamente sul disegno eseguito sul muro pensandolo inserito in una quadrettatura il cui lato misura 18,18 cm (≈ 200: 11).

Risultati

25.F.18

Punteggi attribuiti su 40 classi di 6 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 98 (35%)7 (30%)3 (13%)4 (17%)1 (4%)231.26
Cat 106 (35%)3 (18%)1 (6%)0 (0%)7 (41%)171.94
Totale14 (35%)10 (25%)4 (10%)4 (10%)8 (20%)401.55
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

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