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Banca di problemi del RMTgm22-it |
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Valutare l’area di una figura, il cui contorno comprende anche archi di circonferenza, di cui è assegnata una rappresentazione in scala su una quadrettatura.
Analisi a priori
- Rendersi conto che occorre calcolare con approssimazione l’area di pi-greco valutando quanti sono i quadretti che vengono occupati dalla figura.
- Osservare che una parte della figura può essere scomposta in due rettangoli di 9×2 quadretti (36 cm2) e un rettangolo di 10×2 quadretti (20 cm2) per un totale di 56 cm2.
- Cercare strategie per valutare l’area della parte curvilinea del pi-greco:
- Ritagliare e spostare pezzi della figura per riempire le parti vuote e ottenere una figura più regolare. Questo tipo di strategia dovrebbe portare a concludere che l’area della figura è di circa 7 quadretti.
Oppure:
Sostituire le linee curve con segmenti e calcolare l’area di un poligono che approssima la figura irregolare; in questo esempio: 7 quadretti.
Oppure:
Contare i quadretti interni alla figura, quadretti interi o loro frazioni, ottenendo un valore approssimato di circa 6 quadretti e mezzo/7 quadretti.
Oppure:
Calcolare l’area di ¼ di cerchio di raggio 4 cm e togliere l’area della parte sottostante, compresa fra 5 quadretti e 6 quadretti. Si ottiene un valore compreso tra (π(16/4) - 6) e (π(16/4) - 5) cioè, approssimando π con 3,14, tra 6,56 e 7,56 (in cm2).
Oppure:
- Calcolare l’area della superficie curvilinea, determinando il centro I del secondo arco di cerchio per approssimazione e controllare poi che I coincide con un vertice della quadrettatura poiché l’ipotenusa del triangolo rettangolo ADI misura 5 lati di quadretto (terna pitagorica) così come la distanza CI e quindi AC è un arco della circonferenza di centro I e raggio 5 .
- Misurare poi l’angolo AIC, circa 53°, calcolare l’area del settore circolare corrispondente: π × 52 × 53/360, che è circa 11,56 cm2.
- Togliere da tale area l’area del triangolo AID: (4 × 3) / 2 = 6 cm2
Si ottiene così l’area da togliere al quarto di cerchio DAB: 5,56 cm2 L’area della superficie curvilinea è dunque circa 4π – 5,56 o anche 12,56 – 5, 56 = 7 (in cm2).
- I vari metodi per il calcolo della parte curvilinea dovrebbero portare ad un’area di circa 7 cm2, quindi un’area totale del pi-greco sulla quadrettatura di circa 63 cm2.
- Considerare che il rapporto tra la figura sul muro e quella sulla quadrettatura è di 200 : 11 e che quindi quello tra le aree delle due figure è 2002 : 112 ≈ 330,58.
- Trovare che l’area della superficie da dipingere è di circa 63 cm2 × 330,58 ≈ 20.827 cm2, dunque maggiore di 2 m2. Una valutazione inferiore dell’area della regione a contorno curvilineo, di 6 cm2 o addirittura di 5 cm2, porterebbe comunque ad un’area maggiore di 2 m2.
- Concludere, in ogni caso, che due barattoli di colore non basteranno per dipingere tutto il pi-greco.
Oppure ragionare a ritroso: con due barattoli di vernice si possono dipingere 2 m2 cioè 20000 cm2. Applicando il rapporto fra le aree (200/11)2, si ha un’area, sul disegno, di 60,5 cm2. Poiché la parte regolare della figura occupa 56 cm2, restano solo 4,5 cm2 per la parte irregolare, che risultano evidentemente insufficienti.
Oppure:
Lavorare direttamente sul disegno eseguito sul muro pensandolo inserito in una quadrettatura il cui lato misura 18,18 cm (≈ 200: 11).
Punteggi attribuiti su 40 classi di 6 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 8 (35%) | 7 (30%) | 3 (13%) | 4 (17%) | 1 (4%) | 23 | 1.26 |
Cat 10 | 6 (35%) | 3 (18%) | 1 (6%) | 0 (0%) | 7 (41%) | 17 | 1.94 |
Totale | 14 (35%) | 10 (25%) | 4 (10%) | 4 (10%) | 8 (20%) | 40 | 1.55 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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