Banque de problèmes du RMT
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Confronter les niveaux de liquide dans deux récipients cylindriques connaissant le rythme de remplissage de chacun
Analyse a priori:
- Calculer le temps nécessaire pour que le niveau du pot de la machine A arrive à une hauteur de 40 cm : il reste donc à remplir une hauteur de 30 cm et, en remplissant 1 cm par seconde, il faudra 30 secondes pour finir de remplir le pot A.
- Calculer la hauteur du niveau de chocolat dans le pot de la machine B après 30 secondes : (1 + 2 + 3 + 4 + … + 30) mm, en effectuant l’addition à la main ou en reconnaissant qu’il s’agit de (31 × 30) / 2 = 465 en mm ou 46,5 cm.
- Conclure qu’en 30 secondes le niveau de chocolat du pot de la machine B dépasserait le niveau de celui de la machine A et que, par conséquent, il rejoindrait le niveau du pot A avant que celui-ci ne soit plein.
Ou bien:
- Calculer les hauteurs des niveaux de chocolat dans les deux pots en fonction du temps, en s’aidant éventuellement d’un tableau de ce genre :
- Conclure que le niveau de chocolat dans le pot de la machine B rejoindra celui du pot de la machine A après environ 27 secondes, c’est-à-dire avant que celui-ci ne soit plein.
Ou bien:
- Par voie algébriques et/ou graphique déterminer soit le moment où le niveau de 400 mm est atteint dans le pot B soit le moment où les deux pots sont au même niveau :
il faut alors, dans le premier cas la (durée : t, en secondes) trouver la formule 1 + 2 + 3 + ... + t = (t+1) × t/2 et résoudre l’équation (t+1) × t/2 = 400.
La solution est $\frac{-1 \pm \sqrt{1+3200}}{2} \approx 27.8$,
- Conclure que le niveau de chocolat dans le pot de la machine B arrivera à la hauteur 40 cm (400 mm) avant celui de la machine A (en 30 secondes) ; ou, dans le second cas, exprimer les deux fonctions f(t) = 10 + t ; g(t) = (t+1) × t/20 et résoudre l’équation f(t) = g(t) ; 10 + t = (t+1) × t/20 dont la racine positive est égale à 26,53 s.
volume, cylindre, débit, vitesse
Points attribués, sur 402 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 39 (19%) | 29 (14%) | 30 (15%) | 44 (21%) | 64 (31%) | 206 | 2.32 |
| Cat 10 | 29 (15%) | 28 (14%) | 23 (12%) | 47 (24%) | 69 (35%) | 196 | 2.51 |
| Total | 68 (17%) | 57 (14%) | 53 (13%) | 91 (23%) | 133 (33%) | 402 | 2.41 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
La plupart des solutions correctes sont basées sur un raisonnement arithmétique du type suivant :
- Calcul du temps de remplissage du pot A : 30 secondes
- Pour le pot B, calcul de la somme 1+2+3+… jusqu'à dépasser la valeur 400 (400 mm = 40 cm)
- Observer qu'à la 28ème seconde le liquide atteint la hauteur de 406 mm ce qui garantit le remplissage total du pot B, avant que A soit complètement plein
Ou:
- Calcul du temps de remplissage du pot A : 30 secondes
- Pour le pot B : calcul de la somme 1+2+3+… avec 30 additions, ce qui donne la valeur 465 (465 mm = 46,5 cm)
- Observer qu'à la 30ème seconde, lorsque le pot A est plein, le pot B est certainement plein car la hauteur du liquide serait de 46,5 cm
Dans plusieurs copies (26 % des copies avec 4 points), il existe des tableaux avec la hauteur du chocolat dans le pot B, ou dans les deux pots, calculées aux instants 1, 2, 3, ...30 ou seulement à certains de ces instants. Ces tableaux permettent d'observer que peu avant la 27ème seconde le niveau du pot B dépasse celui du pot A et/ou que peu avant la 28ème seconde le pot B sera complètement plein.
temps hauteur hauteur (s) A (mm) B (mm) 0 100 0 1 110 1 2 120 3 3 130 6 4 140 10 5 150 15 6 160 21 … … … 24 340 300 25 350 325 26 360 351 27 370 378 28 380 406 29 390 435 30 400 465
Dans certaines copies, la formule n*(n+1)/2 a été utilisée avec n = 30 ou n = 28. Dans certains cas (2 sur les 45 copies de cat. 9 de la section PR) la formule a été appliquée avec la valeur n = 27,79 (trouvée, dit-on, par essais et erreurs) pour vérifier qu'il s'agit bien du temps de remplissage du pot B (27,79*28,79/2 = 400). Dans un cas (sur les 48 copies de cat.10 de la section PR), l'équation n*(n+1)/2 = 40 a été résolue pour trouver le temps de remplissage du pot B.
Dans de nombreuses copies de catégorie 10, le remplissage des pots A et B est assimilé à deux mouvements qui se produisent respectivement à vitesse constante (A) et à accélération constante (B). Il s'agit d'une stratégie très répandue dans la cat. 10 et non prévu par l'analyse a priori, ce qui, en raison d'une erreur dans l'écriture de la loi horaire, la rend moins efficace que celle de la représentation dans un tableau.
En fait, la loi horaire de A s'écrit correctement : h = 10 + t (h en cm, t en s), tandis que pour B l'accélération (1 mm/s$^2$) est correctement identifiée mais pas la vitesse initiale qui est erronée, interprété comme nulle. On écrit alors la loi horaire h = 1/2t$^2$2 (h en mm, t en s), on en déduit le temps de remplissage du pot B d'environ 28 secondes (28,28), valeur qui diffère légèrement de la valeur correcte (27,79).
Pour toutes les stratégies, les erreurs rencontrées sont toujours liées au processus de remplissage du pot B. Dans de nombreux cas, le manque de motivation ne permet pas de retrouver la cause des réponses incorrectes ; Dans la mesure du possible, les éléments suivants ont été observés :
- Utilisation incorrecte de la proportionnalité (par exemple le temps de remplissage de la boîte B dans les 4 premières secondes (10 mm) est calculé et le temps de remplissage total x de la proportion de 4 sec :10 mm = x : 400mm) en est déduit.
- Erreurs de calcul dans la somme 1+2+3+…. ou dans les valeurs rapportées dans les tableaux.
- Erreurs avec les unités de mesure dans les conversions entre mm et cm (peu pertinent dans ce problème)
- Erreur, déjà évoquée, en écrivant la loi horaire h = ½ t$^2$ au lieu de h = ½ t + ½ t$^2$
- Erreurs dans l'interprétation des données du tableau : dans un cas, on conclut que le niveau ne sera jamais le même dans les deux pots car seuls des instants entiers sont pris en compte.
En général dans ce problème, la stratégie plus "élémentaire" consistant à suivre le processus "pas à pas", en calculant le niveau de remplissage du pot B à chaque seconde, s'est avérée plus efficace que la stratégie plus "raffinée" consistant à résumer le phénomène dans une relation entre les variables temps et hauteur. En d’autres termes, cette situation se prête mieux à être abordée par une suite que par une fonction d’une variable réelle.
La stratégie "pas à pas" avec la représentation éventuelle dans un tableau montre déjà la prise de conscience de quantités variables liées les unes aux autres. Cela peut être le point de départ d'une discussion en classe qui stimule la recherche d'une relation fonctionnelle pour les deux processus de croissance (linéaire pour le processus A et second degré pour B). Simultanément ou ultérieurement, le besoin peut se faire sentir d'une représentation graphique des deux fonctions (une droite pour A et une parabole pour B), passant ainsi définitivement du discret au continu et donnant une interprétation significative au point d'intersection des deux courbes.
La recherche de la loi à partir des couples de valeurs numériques devrait également conduire à une clarification sur la présence d'une vitesse initiale non nulle dans le remplissage B, modélisé par un mouvement rectiligne uniformément accéléré. L'erreur de supposer cette vitesse comme nulle (dans laquelle, même "experts", nous sommes tombés au début) renvoie à une question conceptuelle importante, à savoir la distinction entre processus discrets et processus continus ou, d'un point de vue physique, entre valeurs moyennes et valeurs instantanées.