Banca di problemi del RMT
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Determinare il perimetro di un rettangolo composto da un quadrato grande di cui si conosce il perimetro (48 cm) e da due quadrati piccoli congruenti tra loro.
- Percepire nel disegno le tre foto e la pagina dell'album (oggetti di carta) corrispondenti ai tre quadrati e al rettangolo della pagina; "vedere" che il rettangolo è composto dai tre quadrati (figure geometriche).
- Identificare nei quadrati e nei rettangoli i segmenti che ne costituiscono i lati: quattro segmenti per il contorno di ciascuna foto e i quattro per la pagina, alcuni dei quali si sovrappongono parzialmente.
- Ricordarsi che il perimetro o contorno è una lunghezza uguale alla somma delle lunghezze di tutti i lati della figura; che nel caso del quadrato il perimetro è uguale alla somma delle lunghezze dei quattro lati uguali e nel caso del grande rettangolo il perimetro è uguale alla somma delle lunghezze dei quattro lati del quadrato grande e di due dei lati dei quadrati piccoli (oppure tre lati del quadrato grande e quattro lati del quadrato piccolo). Comprendere che sarà necessario calcolare la misura dei lati dei quadrati.
- Dedurre dai dati, che la misura del contorno del quadrato grande, composto da quattro segmenti (lati) uguali, permette di trovare che la misura di un lato è 12 cm (48 ÷ 4). Ricavare quindi la misura di un lato dei quadrati piccoli: 6 cm (12 ÷ 2).
- Calcolare la misura del perimetro del rettangolo grande mediante addizioni e/o moltiplicazioni: 12 + 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 = 12 × 3 + 6 × 4 = 18 × 2 + 12 × 2 = ... = 60.
Va notato qui che la tentazione di misurare con un righello graduato non può portare a una soluzione corretta poiché il disegno è ridotto. D'altra parte, una costruzione delle tre foto a grandezza naturale, seguita da una misurazione diretta, potrebbe essere un modo per risolvere il problema (purché si sappia come eseguire la costruzione precisa).
quadrato, rettangolo, perimetro, lunghezza, lato, divisione, addizione
Punti attribuiti su 2431 classi di 19 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 341 (48%) | 120 (17%) | 40 (6%) | 66 (9%) | 142 (20%) | 709 | 1.36 |
| Cat 4 | 375 (43%) | 139 (16%) | 53 (6%) | 83 (10%) | 214 (25%) | 864 | 1.56 |
| Cat 5 | 248 (27%) | 126 (14%) | 62 (7%) | 105 (11%) | 374 (41%) | 915 | 2.25 |
| Totale | 964 (39%) | 385 (15%) | 155 (6%) | 254 (10%) | 730 (29%) | 2488 | 1.76 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Fra gli elaborati esaminati il dato più evidente è la progressione corrispondente all’avanzare della categoria da 3 a 5. In generale, il 45 % delle classi ha trovato la risposta « 60 », ma solo il 35 % in categoria 3 mentre si arriva al 55% nella categoria 5.
La risposta corretta, 60 cm (oppure 60) si fonda per lo più sulla divisione 48 : 4 = 12, rendendo così possibile determinare anche la misura del lato del quadrato grande, poi, solitamente, il lato di un quadrato piccolo viene determinato dalla divisione12 : 2 = 6.
Accade talvolta che le scritture 48 : 4 = 12 o 12 : 2 = 6 non siano esplicitamente elencate, ma i risultati 12 e 6 siano sempre presenti. Esistono molti modi per giustificare la risposta 60.
Ad esempio: 10 × 6; 12 × 5; 18 + 18 + 12 + 12; 12 × 3 + 6 × 4; 12 + 12 + 12 + 12 + 6 + 6; ... corrispondenti in generale alle lunghezze dei lati indicati dagli alunni sulla figura: 12, 6 e/o 18.
Quando gli allievi descrivono verbalmente la loro prima operazione, troviamo frasi come:
- Poiché il contorno dell'immagine grande misura 48 cm, ciò significa che ogni lato misura 12 cm (12 × 4 = 48). ...
- Abbiamo diviso il contorno della foto grande per 4 che fa 12 cm. Allora ...
Quando gli allievi scrivono solo operazioni, c'è una maggioranza di " 48 : 4 = 12" o quando non indicano le operazioni, il "12" è annotato su almeno due lati del quadrato grande.
Possiamo dedurne che questi allievi considerano il perimetro o il "contorno" della figura "quadrato" come la somma delle uguali lunghezze dei quattro lati, quindi continuano a considerare i lati (segmenti) delle altre figure per dividerli per due e poi addizionarli. Quindi distinguono perfettamente i quadrati (figure a due dimensioni) dai loro lati (segmenti) e lavorano nell’ambito delle lunghezze, in una dimensione.
La risposta 72 = 48 + 24 è l’errore più frequente e più tipico, si incontra in un quarto degli elaborati esaminati. Questa sarebbe la risposta giusta se fosse stata richiesta l’area della pagina dando 48 cm2 come area della foto grande.
Gli allievi che hanno dato questa risposta sembrano aver percepito gli spazi occupati piuttosto che i segmenti che li delimitano. Per loro, la pagina è composta da un grande quadrato e dall'insieme dei due piccoli, considerati come una "striscia" che occupa metà dello spazio riservato al grande quadrato corrispondente al dato "48". La parola "contorno" o l'unità "cm" probabilmente non sono state "lette" in modo ponderato. Di conseguenza, questi allievi hanno iniziato con l'operazione 48 : 2 = 24 che fornisce loro un valore legato alla "striscia" dei due quadrati, quindi hanno proseguito con la divisione 24 : 2 = 12 che dà loro un valore attribuito a ciascuno dei due quadratini:
- (cat 5): 48 cm sono i cm della foto grande, le foto piccole sono la metà, perciò abbiamo fatto 48 : 2 che ci ha dato 24 e quindi abbiamo sommato 48 + 24 = 72 che è il contormo dell’album
- (cat 4): Abbiamo scoperto che la misura del contorno della pagina è 72 perché si vedeva che le due foto piccole erano la metà della foto grande quindi abbiamo fatto 48 :2 poi 24 (risultato) :2 che da 12 × 2 perché c’erano due foto piccole …
- (cat 3): Le due foto fanno la metà della foto grande quindi la metà di 48 fa 24 perciò insieme le 3 foto fanno 72.
- (cat 5): Abbiamo trovato la risposta cosi: poiché le foto piccole sono la metà di quella grande, queste due foto sono metà della foto grande, quindi sono metà di 48 cm, cioé 24 cm, questo fa 24 + 48 = 72 cm.
Contrariamente al ragionamento che ha portato alla risposta corretta, c'è, in queste risposte “72” un'addizione di due misure associate a figure bidimensionali, paragonabili a ciò che accade nell’ambito delle aree (a due dimensioni). Gli allievi non hanno percepito i lati (a una dimensione) delle figure, anche se a volte hanno accompagnato la loro risposta con l'unità "cm".
La risposta 96 = 48 + 24 + 24 è meno frequente, si trova nel il 5% degli elaborati esaminati. Talvolta è di tipo “lunghezza” attraverso il calcolo dei perimetri dei due quadratini: 24 o 6 + 6 + 6 + 6 e l’addizione dei tre perimetri, altre volte è ottenuta addizionando le tre aree, come mostrato nell'esempio seguente:
(Abbiamo diviso 48 e abbiamo ottenuto 24 e quindi abbiamo addizionato 48 + 24 + 24 e ottenuto 96)
Si trovano ancora molte altre procedure errate con le risposte 120, 240,192, 48, ottenute a partire da 48; 24; 12; 6.
Esempio altrettanto caratteristico della confusione tra le figure a due dimensioni e le loro aree e i segmenti unidimensionali e le loro lunghezze.
(Cat 5): Risposta: il contorno della pagina misura 120 cm. Abbiamo letto che la misura della foto grande è 48 cm. Pertanto abbiamo pensato di prendere la figura piccola e abbiamo scoperto che era la metà. Abbiamo calcolato “48 : 2” che da 24, cioè la metà della figura grande. Per calcolare la lunghezza di tutta la pagina abbiamo fatto "48 + 24" che dà 72 e abbiamo fatto 72+24 che dà 96, che è la lunghezza di tutta la pagina, poi 96+24=120.
Risposte vicine a 36 o 37 cm
Nel 10% circa dei casi, gli alunni hanno misurato i lati delle figure con un righello graduato, in cm senza tener conto del dato "48 cm per il contorno del quadrato grande ", che avrebbe dovuto condurli ad una risposta vicina a 36 o 37 cm (ad esempio (11,0 + 7,3) × 2 = 36,6. Ma le variazioni vanno oltre le inesattezze delle misure e troviamo risposte che vanno da 35 a 40. In questo caso gli allievi hanno lavorato nell’ambito delle lunghezze, in una dimensione.
In circa il15% dei casi, gli allievi hanno misurato solo le dimensioni dei piccoli quadrati e le hanno combinate con i "48 cm" del quadrato grande. Hanno lavorato ugualmente nel campo delle lunghezze, ma con due diverse unità di misura! Ecco qualche esempio:
-(cat 4) (Il contorno del quadrato grande è in rosso: 48 cm; il rettangolo di due quadratini ha tre lati in blu: 15 cm (3,7 le larghezze, 3,8 e 3,8 la lunghezza) con le spiegazioni): 48 + 15 = 63, 63 – 7.5 = 55.5 Il contorno della pagina su cui sono incollate le foto è di 55,5 cm.
- (cat 3) (Il contorno del quadrato grande è in rosso: 48 cm; i bordi dei due quadratini blu, con "3,5 cm" sui lati e "14" al centro): 14 + 14 = 28 ; 48 + 14 = 76. Ci sono 76 cm sulla pagina.
- (cat 5) (I tre quadrati sono indicati da una freccia utilizzando i numeri 48, 19 e 19): Il contorno dell'album è di 86 cm. Spiegazione: Innanzitutto abbiamo calcolato (misurato) il contorno della foto grande. Sono 28 cm, quindi abbiamo calcolato la differenza tra la linea reale e la linea che è sopra. Abbiamo trovato una differenza di 20 cm. Quindi abbiamo diviso il quadrato grande per 4 per trovare le dimensioni del cane e del gatto. Abbiamo aggiunto 48 + 19 + 19 = 86 perché il contorno del cane è di 19 cm.
Troviamo osservazioni simili nel problema Campi da gioco (19.II.04)
Esaminando gli elaborati, si coglie il grande interesse del problema per distinguere le due grandezze sovente non percepite dagli allievi.
Ciò dipende da cosa questi ultimi "vedono" nella figura geometrica, infatti possono percepire le linee che la compongono (i segmenti) e quindi essere in grado di lavorare sui perimetri o percepire solo gli spazi determinati dalla figura interessandosi "allo spazio occupato" dai quadrati vale a dire alla loro area.
Uno dei modi più efficaci per acquisire consapevolezza di ciò che rappresenta il "perimetro" è quello di chiedere ai piccoli allievi di costruire i tre quadrati in dimensioni reali. Per il quadrato grande devono considerare l’uso del loro righello graduato e iniziare disegnando un lato, la cui misura può essere solo di 12 cm, quindi costruire anche gli altri tre lati di 12 cm; poi passare alla costruzione dei quadratini con la scoperta dei 6 cm. Poi, sempre misurando con il righello, se vogliono sapere qual è il contorno della pagina devono seguirne i lati, misurare 18 cm, 12 cm 18 cm e 12 cm e addizionare 12 + 18 + 12 + 18 = 60.
Per le categorie 5 e seguenti, allo scopo di consolidare la distinzione tra lunghezze e aree: dopo un confronto dei risultati del problema risolto in classe, per esempio, si può immaginare di chiedere a ciascun alunno di disegnare la pagina e le tre foto a grandezza naturale su un foglio quadrettato in cm e di contrassegnare tutte le lunghezze dei segmenti con un colore, con uno o più segmenti- unità disegnati nel medesimo colore, quindi contrassegnare le aree delle tre foto di un altro colore, con uno o più quadrati- unità colorati nello stesso modo. La presenza simultanea di due tipi di misure e delle unità corrispondenti dovrebbero far comprendere agli allievi l'importanza di distinguere le aree 36, 36, 144 e 216 in cm2 dalle lunghezze dei lati 6, 12 e 18, in cm, consentendo di determinare i perimetri di ogni figura. Tutte di un colore, le misure d'area si possono addizionare: 36 + 36 + 144 = 216, ...Nell'altro colore, l'addizione delle misure di lunghezza consente di definire i perimetri: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 = 4 × 6 ... La combinazione dei due colori consente una moltiplicazione che non è l’addizione ripetuta precedente, ad esempio: 6 × 6 = 36 ; 12 × 18 = 216.
Si veda anche Campi da gioco (19.II.04)
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