I cinque rettangoli (I)

Identificazione

Rally: 27.II.10 ; categorie: 6, 7 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

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Sunto

Formare dei rettangoli ciascuno dei quali composto da quattro rettangoli di cui si conosce il perimetro (10, 14, 20, 24 cm) e determinare il loro perimetro.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Osservare la figura e comprendere perché ci possono essere rettangoli diversi con lo stesso perimetro sia di 10, 14, 20, 24 cm.

- Comprendere che se si sceglie una lunghezza per uno dei lati del rettangolo con il perimetro di 10 cm, la lunghezza dell’altro lato è determinata e può essere calcolata sapendo che il perimetro è la somma delle lunghezze dei quattro lati, due lunghezze e due larghezze, per esempio

• - se si sceglie 1 cm per il lato minore, l’altro lato sarà di 4 cm (10 = 2 × 1 + 2 × 4)
• - se si sceglie 2 per il lato minore, l’altro lato sarà di 3 cm (10 = 2 × 2 + 2 × 3)
• - ... (si possono anche scegliere numeri non interi)

- Accorgersi che la larghezza del rettangolo con il perimetro di 10 cm è la stessa di quello vicino con il perimetro di 20 cm e in base agli esempi precedenti, si avranno un rettangolo di 1 cm e 9 cm per il primo caso e un rettangolo di 2 cm e 8 cm per il secondo.

- Lo stesso vale per il rettangolo con il perimetro di 14 cm in cui la lunghezza è la stessa del primo e che conduce ad un rettangolo con i lati di 3 e 4 cm, nel primo caso e a un rettangolo con i lati di 4 e 3 cm nel secondo.

La regola non cambia per il rettangolo con perimetro di 24 cm: lati di 3 e 9 cm nel primo caso e di 4 e 8 cm nel secondo.

- Utilizzare le misure dei lati dei rettangoli piccoli per calcolare il perimetro del rettangolo grande:

• - per il primo caso: 2 × [(4 + 9) + (1 + 3) = 34 cm
• - per il secondo caso: 2 × [(3 + 8) + (2 + 4)] = 34 cm.

- Constatare quindi che i due perimetri sono uguali.

- Verificare che scegliendo una diversa misura per i lati del rettangolo con il perimetro di 10 cm si ottiene sempre 34 cm per il perimetro del rettangolo grande. Per esempio, con 1,5 come terza scelta: i lati saranno di 1,5 e 3,5 (perimetro 10 cm); 1,5 e 8,5 (perimetro di 20 cm); 3,5 e 3,5 (perimetro di 14 cm); 3,5 e 8,5 (perimetro di 24 cm). Il perimetro del grande rettangolo sarà perciò 2 × [(3,5 + 8,5) + (1,5 + 3,5)] = 34 cm (la dimostrazione o una giustificazione di questa proprietà non viene richiesta).

Nozioni matematiche

quadrato, rettangolo, perimetro, lunghezza, lato, divisione, addizione

Risultati

27.II.10

Punti attribuiti su 2640 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta e completa (trovati i tre perimetri da 34 cm con rettangoli di dimensioni diverse), con dettaglio dei calcoli per ciascuna coppia di numeri utilizzata (è indifferente che ci siano coppie di numeri naturali o decimali, ma non si considerano diverse due soluzioni con la medesima coppia, per esempio 1; 4 e 4; 1 sono un’unica soluzione) e disegno o spiegazione
• 3 punti: Riposta corretta e completa con spiegazione parziale o poco chiara
  oppure trovate solo due soluzioni, con dettaglio dei calcoli per ciascuna coppia di numeri utilizzata
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure trovata solo una soluzione
  oppure risposta errata per errori di calcolo, ma procedimento corretto e ben spiegato
• 1 punto: Inizio corretto di ricerca, per esempio trovata la misura di qualche lato senza arrivare alla conclusione
• 0 punto: Incomprensione del problema