Les sept polygones

Identification

Rallye: 29.I.13 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

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Résumé

Comparer les aires de sept polygones tracés sur un quadrillage dont les sommets coïncident avec les nœuds du quadrillage : deux triangles, deux rectangles, un parallélogramme, un trapèze et un pentagone (un carré complété par un triangle rectangle).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

L'ancien texte était "l'analyse a priori" d'origine du problème, qui tenait compte de deux problèmes antérieurs Des triangles sur une planche à clous (ral. 27.I.18), Comparaison de figures (26.I.12), mais ne révélait pas encore l'intérêt du problème dans un parcours d'apprentissage.

Ce problème permet de reprendre, aux degrés de l'école secondaire I (catégories 6 à 8) tous les savoirs abordés dès l'école primaire sur l'aire et le périmètre des polygones "élémentaires" abordés dans l'enseignement primaire et d'en faire une synthèse.

Les élèves devront reconnaître dans le quadrillage "l'instrument primitif" de mesure d'aire, et ses carreaux qui en constituent les unités, qu'il suffit de compter un à un, avant de passer aux parties de carreaux à regrouper pour en faire des entiers, et aux décompositions des polygones en parties permettant de former des carrés, rectangles ou triangles rectangles dont le nombre de carreaux est plus facile à compter.

Cette procédure va être confrontée aux calculs par les formules d'aire des polygones élémentaires qui exige des mesurages préalables de côtés ou autres segments judicieusement choisis pour aboutir au conflit "comptage de carreaux / mesurage de segments pour le calcul de l'aire" et à la distinction de figures en "position standard" (côtés horizontaux et/ou verticaux) ou en "position non standard" (côtés obliques), ce qui représente un nouveau conflit.

La liste des savoirs moblisés ou à construire est longue. En voici les plus évidents, les autres seront découverts lors de la pratique du problème en classe:

- les deux grandeurs en présence: les surfaces (2D) et longueurs (1D) avec leurs mesures: les aires dont les unités peuvent être les "carreaux du quadrillage" ou cm2 et les longueurs dont les unités peuvent être les "côtés des carreaux du quadrillage ou cm ainsi que les conversion entre unités d'une même dimension et la prise de conscience que les unités de dimension 2D sont le produit de deux unités de dimension 1D;

- la comparaison de surfaces équivalentes par composition ou décomposition, (le carré partagé en deux triangles isocèles rectangles par une diagonale ou en 4 parties semblables par les deux diagonales; le rectangle partagé en deux triangles rectangles par une diagonale : le parallélogramme comme rectangle "transformé";

- la comparaison de longueurs équivalentes par composition ou décomposition;

- les formules de l'aire du rectangle, du parallélogramme, du triangle et du trapèze;

- la reconnaissance des distances à mesurer pour le calcul de l'aire des polygones ci-dessus;

- le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré;

- les approximations de mesures de longueur.

Notions mathématiques

polygone, triangle, quadrilatère, rectangle, trapèze, parallélogramme, aire, unité d'aire, longueur, unité de longueur, périmètre, diagonale, quadrillage, formule, approximation

Résultats

29.I.13

sur 1681 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués avec la réponse explicitée
• 3 points: Réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans approximation pour 6 des sept polygones présentés
  ou réponse erronée pour s’être trompé sur le calcul de l’aire d’un seul des sept polygones avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans approximation
  ou ou réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans la réponse explicitée
• 2 points: Réponse pour au moins 4 des sept polygones présentés avec la valeur de l’aire correcte avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs justes effectués sans approximation
  ou réponse correcte avec la valeur de l’aire correcte sans autres explications
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple détermination de l’aire de deux ou trois polygones ou seulement d’un polygone mais différent du rectangle)
• 0 point: Incompréhension du problème ou seulement détermination de l’aire du rectangle

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats ci-dessus sont ceux relevés par près de 1700 groupes d'élèves de catégories 7 et 8 selon les copies qu'ils ont rendu après 50 minutes de travail lors de la première épreuve du 29e RMT, en 1922. Ils sont comparables à ceux des pratiques en classe, en 2026 dans les cas où les élèves ont travaillé en groupes dans les mêmes conditions (sans lecture préalable de l'énoncé conduite par l'enseignant). Ils font apparaître l'ampleur du travail à conduire en classe pour que l'ensemble des élèves arrive à déterminer exactement l'aire de chacun des sept polygones, au moins par comptage un à un des carreaux du quadrillage.

La réponse "les sept polygones ont la même aire : 24, en carreaux du quadrillage" n'est de loin pas majoritaire, c'est un constat et il faut chercher à expliquer les obstacles rencontrés:

L'analyse a posteriori des copies recueillies après le concours avait révélé que, dans chacune des catégories les résultats les meilleurs étaient ceux du comptage des carreaux et que les mesures des côtés à la règle graduée ne permettaient pas d'aboutir à l'égalité des aires. Toutes les pratiques de classe confirment e conflit "comptage de carreaux / mesurage de segments pour le calcul de l'aire". Non seulement les mesures sont imprécises mais encore, elles se prennent sur des segments inappropriés, qui illustrent le second conflit "position standard" / "position non standard" des figures. D'autres obstacles apparaissent lorsque les élèves cherchent à mesurer, avec une règle qui est graduée en cm, des distances dessinées en nombres de côtés de carreaux du quadrillage. Un autre obstacle est une confusion entre les mots "base" et "hauteur" attribués à côtés "horizontaux" et "verticaux" dont la signification n'est plus valable en position "non standard".

On peut aussi relever la variété des réponses correctes en fonction des figures. L'aire du rectangle D, en position "standard " est évidemment la plus facile à trouver avec la formule, puis celle des deux triangles A et C en position "non standard" mais avec cependant une "base" suivant les lignes verticales du quadrillage viennent ensuite. Pour le parallélogramme B et le trapèze E les obstacles sont plus grands et pour G, lorsqu'il est reconnu comme rectangle, la formule "longueur x largeur" se heurte à l'obstacle de la conversion d'unités d'aire.

Dans les deux articles cités en bibliographie le premier In La Gazzetta di Transalpino 12. (pp 41-84) de 2022 et le second rapportant les pratiques de classe In Gazetta BPrmt 1 (pp 47-84) de 2026. on trouve de très nombreuses reproductions de copies d'élèves qui illustrent leur magnifique créativité dans la production de solutions correctes et surtout fantaisistes.

Exploitations didactiques

Voici une liste, non exhaustive, des réflexions à développer lors de la première mise en commun :

- A la base, il y a deux rectangles, un parallélogramme (rectangle "transformé"), deux triangles et un trapèze (demi-parallélogrammes et un polygone de 5 côtés.

- Le quadrillage est l'instrument de mesure "naturel" ou élémentaire qui permet de déterminer l'aire de chacun de ces polygones très particuliers (car tous leurs sommets sont sur des noeuds du quadrillage), par comptage des carreaux un à un ou par regroupements, ... - Les mesurages avec une règle graduée ne conviennent pas car les carreaux du quadrillage ne sont pas des cm2 et l'imprécision des mesures relevées conduit à des approximations.

- Comme l'instrument "quadrillage" n'est pas gradué, il est souhaitable de trouver une procédure plus efficace que le comptage carreau par carreau pour déterminer l'aire du polygone en fonction de sa forme. Il en existe pour tous les rectangles, pour tous les parallélogrammes, pour tous les triangles et pour tous les trapèzes, de notre problème des Sept polygones : les formules d'aire.

- Pour le rectangle D la multiplication 2 x 12 est fréquente (elle peut provenir d'un souvenir de la 4e ou de la 5e année d'école primaire ou de la vision des 2 rangées de 12 carreaux. Il ne faut cependant pas se faire d'illusion et penser que dans la tête des élèves, le 2 et le 12 représentent les longueurs (de dimension 1D) des deux côtés du rectangle. (Voir à ce propos l'introduction de la famille LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires et de sa sous-famille LA/UA - Traiter des unités d'aires).

- La figure G n'est pas toujours reconnue comme un rectangle et, si elle l'est, son aire n'est jamais calculée par le produit 4 x 3 (mesures de longueurs en "diagonales de carreaux" qui conduisent à une unité de mesure d'aire qui est le double de celle du carreau.) Il s'agit là d'un indice significatif : la "formule" de l'aire du rectangle ne s'applique qu'aux cas où celui-ci a ses côtés horizontaux et verticaux.

- L'aire de la figure B, un parallélogramme, se calcule avec la même formule que celle du rectangle de "base" 3 et de "hauteur" 8 (en côtés de carreaux), à condition de savoir que la "transformation" du rectangle consistant à déplacer son côté supérieur de 6 carreaux vers la gauche ne modifie pas son aire. (Il y a, à ce propos, tout le long travail de découpage et reconstitutions à effectuer. (La planche à clous est ici un instrument privilégié pour illustrer ces "transformations").

- Les deux triangles A et C sont, comme tous les triangles, des demi-parallélogrammes. Ils ont chacun un côté, vertical, sur les lignes du quadrillage et par conséquent sont en position quasi "standard". Il suffit de construire ou imaginer le parallélogramme entier, (qui peut se "déformer" en rectangle) calculer son aire et la diviser par 2.

- Le trapèze E est aussi un demi-parallélogramme, (partagé par un des côtés non parallèles) à imaginer ou construire, comme pour les triangles.

- Les "formules d'aire" de 6 parmi les 7 polygones (à l'exception de E) sont toujours le produit de deux mesures de longueurs (de dimension 1D), désignées traditionnellement par "base" et "hauteur" (ou "longueur" et "largeur" dans le cas du rectangle) pour les parallélogrammes (dont le rectangle et le carré) puis divisées par 2 pour les triangles qui sont des demi-parallélogrammes.

- Les élèves, de catégories 7 et 8 (et même précédentes) peuvent retenir ces formules et les appliquer correctement dans le cas, très particulier, des polygones A, B, C, D, E où au moins un des côtés de chaque figure suit les lignes du quadrillage. Cette première mesure de longueur résulte d'un comptage de côtés de carreaux du quadrillage, qui prend aussi à sa charge la direction de la deuxième longueur à mesurer (perpendiculairement). Sans cette disposition particulière des polygones sur quadrillage, l'usage des formules est un problème plus délicat.

Dans un nouveau problème (en création) 5 autres polygones dont les sommets des polygones sont toujours sur les noeuds d'un réseau quadrillé mais dont aucun des côtés n'est vertical ou horizontal, l'application des formules fera apparaître l'obstacle des approximations, bien que les aires puissent se déterminer par comptage et/ou décomposition et recompositions en rectangles et triangles rectangles.

Pour aller plus loin

Si l'on envisage l'activité des Sept polygones, dans le cadre d'un parcours d'apprentissage, on constate qu'il reste encore beaucoup à faire:

- observer les périmètres des sept figures d'aire 24 ;

- passer à d'autres figures qui n'ont pas de côtés sur les lignes du quadrillage,

- puis abandonner ce quadrillage "facilitateur" pour entrer dans l'étude générale des polygones ;

- aborder le domaine des nombres non encore traités: les rationnels et les irrationnels;

A cet effet, voici quelques suggestions tirées des premières expérimentations.

1. Questions complémentaires sur la sympathique famille des polygones d'aire 24 dont les sommets sont sur les noeuds du quadrillage.

1.1. Combien y a-t-il de rectangles dans cette famille?

1.2. Y a-t-il un carré ?

1.3 Quel est celui dont le périmètre est le plus petit ? (plusieurs enseignant ont abordé la question du périmètre)

1.4. Quel est le triangle de cette famille dont le périmètre est le plus long ?

1.5. Combien y a-t-il de parallélogrammes dans cette famille dont deux des côtés mesurent 3 (côtés de carreau)?

2. La famille des carrés dont les sommets sont sur les noeuds du quadrillage.

2.1. Quel est celui dont l'aire est la plus petite et dont les côtés ne suivent pas les ligne du quadrillage?

2.2. Dessinez un carré inscrit dans le carré de 3 x 3 (côtés de carreaux), calculez son aire et dites combien mesure son côté (exactement, sans utiliser d'approximation décimale).

2.3. Dessinez un carré de 17 x 17 (cm) dont les sommets sont sur les noeuds d'un quadrillage (carreaux de 1 cm x 1 cm). (On peut utiliser à cet effet une feuille de papier quadrillé de 0,5 cm x 0,5 m). Puis dessiner tous les carrés inscrits dans ce carré de 17 x 17 (cm) dont les sommets sont aussi sur des noeud du quadrillage.

- Combien y en a-t-il?

- Combien mesurent leurs côtés?

- Quel est celui dont l'aire est la plus grande ?

- ...

2.4. A propos du carré inscrit dans un autre carré: il suffit de déplacer les quatre triangle pour constater que l'aire du carré intérieur est la somme de celles de deux autres carrés plus petits !!!

3. Les polygones dont les sommets sont sur les noeuds d'un quadrillage mais dont aucun côté n'est sur les lignes du quadrillage quadrillage. (Voir nouveau problème en création Cinq polygones et des questions embarassantes.)

4. Origamis.

Plusieurs classes ont illustré certaines propriétés des polygones par les origamis (papiers pliés) qu'ils ont appris à utiliser comme "matériel" de manipulation.

5. Et enfin : les (deux) formules de l'aire du parallélogramme et celles (trois) du triangle sans l'aide du quadrillage et avec les développements nécessaires sur les nombres rationnels et irrationnels. (Voir à ce propos I due rettangoli (ral. 25.I.13 ; cat. 7-8) et un nouveau problème à rédiger : Les trois "bases" du triangle.

Autres problèmes à insérer dans un parcours didactique sur les polygones dont les sommets sont situés sur les noeuds d'un quadrillage:

Les dix points (ral. 18.I.08 ; cat. 5-7) ; 18rmti_fr-8): A partir de 10 points placés sur un réseau à maille carré, recherche de quadruplets de points formant des quadrilatères qui vérifient les propriétés caractéristiques du rectangle.

Sur le mur de l'école (I) (ral. 18.II.06 ; cat. 4-5): Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage.

Sur le mur de l'école (II) (ral. 18.II.13 ; cat. 6-8): Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage et déterminer l’aire des deux plus grands.

Bibliographie

P. Bajorko, B. Brogi, F. Brunelli, F. Curreli, S. Dettori, F. Falguères, L. Grugnetti, F. Jaquet, E. Mari, E. Renna, P. Sabatini, M-A. Satta, C.Utzeri, Vincenza Vannucci. (Gruppo geometria per i grandi). **Da sette poligoni a ... sette poligoni / De sept polygones à .. sept polygones** In La Gazzetta di Transalpino 12. 41-84

Nicoletta Borghesi, Brunella Brogi, Florence Falguères, Roberta Filippini, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Claudia Sticozzi, Michelina Strazza, Laura Verrucci, **I sette poligoni** In Gazzetta BPrmt 1. 47-84 (2026)

Fiche élaborée selon les expérimentations et réflexions des membres de l'espace coopératif BPrmt : Nicoletta Borghesi, Brunella Brogi, Elisabetta Bruno, Florence Falguères, Roberta Filippini, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Claudia Sticozzi, Michelina Strazza, Laura Verrucci