Banque de problèmes du RMT
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Comparer les aires de 7 figures dessinées sur un quadrillage à maille carré dont tous les sommets sont sur des nœuds d’un quadrillage.
- Comprendre, à la lecture de la question et à l’observation des figures que pour comparer les aires, il s’agit de déterminer la mesure de chacune des trois aires, avec une unité commune.
- Constater qu’on ne peut pas appliquer de formules connues à tous les 7 polygones ; que la présence du quadrillage permet d’utiliser le carreau comme unité commune ; qu’il sera nécessaire de décomposer les figures en carrés entiers ou en parties de carrés ou en figures de base dont l’aire se détermine facilement.
- Les procédures de détermination de l’aire sont multiples, et différentes d’une figure à l’autre, en particulier :
- comptage une à une des unités entières, puis reconstitution d’unités par déplacements des parties non entières,
- décomposition de la figure en rectangles, triangles et parallélogrammes qui peuvent reconstituer un rectangle par déplacement,
- perception du triangle rectangle comme la moitié d’un rectangle,
- les triangles non rectangles sans angles obtus peuvent être décomposés en deux triangles rectangles,
- calcul de l’aire du rectangle circonscrit à la figure complète suivie de la soustraction des aires des rectangles et/ou des triangles complémentaires,
- application de la formule pour l’aire d’un triangle,
- faire appel aux formules de l'aire lorsque les décompositions précédentes donnent des triangles dont une "base" et la "hauteur" correspondante suivent le quadrillage et ont des mesures entières de leurs longueurs/ou des rectangles dont les côtés suivent les lignes du quadrillage.
- La stratégie par comptage est facilitée lorsque les côtés passent tous par des nœuds du quadrillage. C’est le cas par exemple pour l’aire des figures D et G ( 24 u ) qui peut être déterminée par comptage de carreaux entiers ou de demi-carreaux. Dans les autres configurations la démarche nécessite des approximations qui peuvent conduire à des résultats erronés.
- L’application des formules lorsqu’elles sont connues est efficace pour les figures usuelles dont on peut facilement déterminer les mesures. C’est le cas pour les figures A B C D E dont l’aire est aussi 24 u.
- L’analyse de la décomposition de la figure en figures simples est nécessaire lorsque les formules ne sont pas connues ou que les figures sont non « usuelles ». Les figures peuvent par exemple chacune être vues comme étant inscrites dans un rectangle aux côtés suivant les lignes du quadrillage. Leurs aires peuvent être alors calculées en enlevant à l’aire de ce rectangle, l’aire des triangles rectangles qui entourent chaque figure. L’aire en carreaux de le figure F est, par exemple, alors donnée par le calcul : 6 × 6 – 3 × (2 × 4 / 2) = 24 ; il est aussi possible de tracer des traits suivant les lignes du quadrillage pour obtenir une décomposition en sous-figures dont l’aire est facile à calculer. Par un segment « horizontal » on peut, par exemple, décomposer la figure F en un trapèze, un parallélogramme et un triangle rectangle et calculer son aire en carreaux en effectuant (4 + 5) × 2/2 + 2 × 5 + 2 × 5 / 2 = 24
polygone, triangle, quadrilatère, rectangle, trapèze, parallélogramme, aire, unité d'aire, longueur, unité de longueur, quadrillage, formule
sur 1681 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 225 (23%) | 334 (35%) | 251 (26%) | 89 (9%) | 64 (7%) | 963 | 1.41 |
| Cat 8 | 79 (11%) | 208 (29%) | 216 (30%) | 115 (16%) | 100 (14%) | 718 | 1.93 |
| Total | 304 (18%) | 542 (32%) | 467 (28%) | 204 (12%) | 164 (10%) | 1681 | 1.63 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:
Dans les deux catégories, les meilleurs résultats sont obtenus par comptage des carrés, procédures plus fréquentes en catégorie 8. En catégorie 7, les élèves ont très souvent eu recours aux mesures à la règle, les obligeant à effectuer des calculs complexes avec des nombres décimaux pour trouver les aires à l'aide de formules.
D'autres difficultés sont apparues : la capacité limitée à décomposer les formes, en particulier celles dont les côtés ne sont pas horizontaux-verticaux. Les formes F et G sont celles qui ont posé le plus de difficultés. Une gestion limitée des hauteurs a également été constatée, en particulier pour les formes non conventionnelles, ainsi qu'une difficulté à identifier la relation côté ≠ diagonale dans un carré.
Des résultats aux analyses a posteriori des copies
L'analyse a posteriori a été menée selon un questionnaire proposé par le GIPL portant sur différents problèmes de l'épreuve I du 29e RMT, dont « Les Sept Polygones »
- 1. Parmi les « 0 » ou « 1 »point, avez-vous pu relever des indices permettant de déterminer des obstacles à l’appropriation du problème ?
- 1.A Y a-t-il des groupes qui n'ont pas compris la demande d'identifier des polygones ayant la même aire et, par conséquent, n'ont pas essayé de savoir quelle était l'aire de chacun d'eux ?
Il n'existe pas de tels cas. Presque toutes les copies, qu'elles soient correctes, incomplètes ou erronéés, contiennent au moins un début d'explication et démontrent l'appropriation de l'énoncé, mais dans certains cas, seule l'aire du rectangle D est déterminée.
- 1.B Y a-t-il des groupes qui n’ont jamais utilisé le quadrillage ?
Parmi les épreuves ayant obtenu un score de « 0 », les erreurs sont principalement dues à l'utilisation de mesures à la règle et à des difficultés évidentes de calcul des aires. Dans certains cas, la confusion entre périmètre et aire est encore évidente.
Dans d'autres épreuves de catégorie 7, on observe une méconnaissance de la relation entre le contour d'une figure et son aire.
- 2. Parmi les erreurs de détermination de l’aire d’un ou plusieurs des sept polygones
- 2.A Réponses approximatives dues à la mesure de dimensions à la règle graduée
Dans les deux catégories 7 et 8, avec un score de 1, après avoir divisé les polygones en figures de formes différentes, on utilise souvent des mesures avec une règle qui ne conduisent pas au résultat correct.
Parmi les articles qui présentent la solution à l'aide de formules et de mesures imprécises avec une règle, ceux qui fournissent la réponse correcte en utilisant l'approximation appropriée dans le résultat sont très rares.
- 2.B Erreurs de calcul en utilisant les formules
Recours à des formules, qui ne sont pas toujours utilisées correctement. Les élèves ignorent la hauteur de la figure et multiplient les côtés. Les côtés sont mesurés à l'aide d'une règle.
Quelques groupes ont fait des erreurs de comptage dans l'utilisation de la formule de Pick
- 2.C Erreurs de reconstitution de carreaux entiers avec des parties de carreaux: quelques unes.
- 2.D Degré de difficulté selon les polygones (du mieux réussi, D, au plus difficile ?
Les figures E et F se disputent la dernière place, notamment dans la catégorie 7, mais aussi G dans les deux catégories ; l'erreur met clairement en évidence la difficulté de gérer des figures dont les côtés coupent les carrés en diagonale, comme le montre clairement, par exemple, un exemple où la figure G est « redressée » mais ne tient pas compte du fait que les côtés ne recouvrent pas exactement les carrés, d'où le résultat « 12 ».
- 3.Parmi les aires correctes, quel type de réponse à la question Montrez comment vous avez trouvé votre réponse
- 3 A. Aucune explication
Rares sont les copies qui donnent la réponse sans explication, mais parfois ces explications manquent de clarté ou, par exemple, indiquent « nous avons compté les carrés ». Généralement, la procédure est expliquée graphiquement sur les polygones de l'article et implique presque toujours de compter le côté du carré, utilisé comme unité de longueur. Dans plusieurs cas, la valeur de l'aire correspond au nombre de carrés, mais l'unité de mesure est le cm². Ce phénomène se produit également dans la catégorie 8 et dans les articles ayant obtenu des scores élevés.
- 3.B Les calculs obtenus en appliquant une formule
Dans certaines copies, tant de catégorie 7 que de catégorie 8, les mesures sont celles dont l'unité est le côté d'un petit carré. Les formules sont ensuite correctement appliquées, après division de certaines figures en différentes parties, conformément à l'analyse a priori.
- 3.C Le détail des recompositions de parties de carreaux
Les recompositions apparaissent très souvent sur les figures les plus simples mais rarement sur les autres.
- 3.D Le détail des recompositions de parties de carreaux
Recours à la décomposition des figures ou à leur inscription en figures « classiques », puis mesure des longueurs des côtés des carrés. Dans les deux cas, la mesure correcte de l'aire du polygone G a été trouvée après sa décomposition en parties permettant de compter facilement les carrés.
Le problème a évidemment été conçu à des fins pédagogiques. Le domaine des aires présente un obstacle majeur en raison de l'absence d'« outil de mesure des aires », de la prévalence des méthodes scolaires automatiques basées sur des formules et de la mesure préliminaire des longueurs en unités conventionnelles, oubliant que, dans ce cas, le quadrillage est un outil efficace.
Le choix de l’unité de mesure appropriée est évident dans ce problème et ce thème renforce encore l’intérêt de sa discussion dans une activité en classe.
L'activité en classe peut favoriser une meilleure compréhension de l'équidécomposition : déterminer l'aire de figures complexes en les divisant en d'autres dont l'aire peut être calculée à l'aide de formules connues, puis effectuer les additions ou soustractions ultérieures.
Ce problème est également propice à stimuler la réflexion sur les "hauteurs" des figures proposées.
Des analyses a posteriori ont mis en évidence la nécessité de modifier la tendance commune à utiliser sans esprit critique les mesures à la règle, au détriment du comptage des carrés sur une grille, ou du recours à des déductions ou à l’application de connaissances géométriques.
Exemples d'activités en vue d'un parcours didactique avec la classe
À expérimenter en classe, selon des modalités déterminées par l'enseignant; avec envoi de description et commentaires pour rendre compte de l'opportunité de l'activité pour la construction des savoirs (notés en italique).
a) Dessinez les sept figures sur papier quadrillé avec 1 cm comme mesure du carreau du quadrillage. Elles ont toutes la même aire (24 cm$^2$) mais des périmètres différents. Classez-les de celle dont le périmètre est le plus petit à celle dont le périmètre est le plus grand.
L'égalité des aires n'est pas transférée sur celle des périmètres, et réciproquement. Les figures les plus "compactes" sont celles de périmètre les plus petits.
b) Calculer l'aire des deux triangles A et C à partir de côtés dont la mesure n'est pas un nombre entier de côtés de carreaux du quadrillage et en les mesurant à la règle.
Savoir que les mesures prises à la règle sont des approximations et que les produits de ces mesures pour calculer des aires ne peuvent être aussi que des approximations.
Savoir que la formule de l'aire du triangle ne dépend pas de la "base" et la "hauteur" choisis mais que la "base" peut être n'importe lequel des trois côtés et la "hauteur" correspondante la distance entre la droite qui contient le côté choisi et le sommet opposé. Ou : "un triangle est la moitié de chacun de ses trois parallélogrammes circonscrits".
c) Calculez l'aire du rectangle G à partir des longueurs exactes de ses côtés (sans mesures à la règle ni approximations).
la diagonale d'un carré de côté 1 (en cm) mesure √2 (en cm).
d) Dessinez plusieurs trapèze avec de mêmes longueurs de bases (6 et 2, en cm) et de hauteur (6 cm) que le trapèze E. Lequel de ces trapèzes a le périmètre minimum ?
Il y a une infinité de trapèzes avec les trois dimensions données, celui dont le périmètre est le plus petit est le trapèze isocèle.
e) La figure F est un polygone de 5 côtés. Dessinez-le puis déplacez un de ses sommets (et les deux côtés adjacents) pour le transformer en un quadrilatère de même aire. Dessinez toutes les solutions.
La figure F est composée dd'un carré et d'un triangle rectangle. Si l'on déplace le sommet de l'angle droit de ce triangle parallèlement à son côté opposé, son aire ne change pas, (même base et même hauteur.
Autres problèmes de la BPrmt avec des savoirs correspondants:
Des triangles sur une planche à clous (ral. 27.I.18),
Comparaison de figures (26.I.12)
P. Bajorko, B. Brogi, F. Brunelli, F. Curreli, S. Dettori, F. Falguères, L. Grugnetti, F. Jaquet, E. Mari, E. Renna, P. Sabatini, M-A. Satta, C.Utzeri, Vincenza Vannucci. (Gruppo geometria per i grandi). **Da sette poligoni a ... sette poligoni / De sept polygones à .. sept polygones** In La Gazzetta di Transalpino 12. 41-84