Banca di problemi del RMT
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Confrontare le aree di sette figure disegnate su una griglia a maglie quadrate i cui vertici sono sui nodi della griglia.
- Capire, dalla lettura dell’enunciato e dall’osservazione delle figure, che per confrontarle bisogna calcolare le aree secondo un’unità comune.
- Constatare che non a tutte le sette figure si possono applicare formule note, che la presenza della quadrettatura permette di scegliere il quadretto come unità comune e che bisognerà scomporre le figure in quadretti interi o parti di quadretti o in figure di base la cui area si determina facilmente.
- Le procedure di determinazione dell’area sono molteplici e differenti da una figura all’altra, in particolare:
- conteggio una a una delle unità intere, poi ricostituzione di unità per spostamento di parti non intere;
- scomposizione della figura in rettangoli, triangoli e parallelogrammi che possono ricostituire un rettangolo per spostamento;
- percezione del triangolo rettangolo come semi-rettangolo;
- i triangoli non rettangoli senza angoli ottusi sono scomposti in due triangoli rettangoli;
- calcolo dell’area del rettangolo circoscritto alla figura totale seguito dalla sottrazione delle aree dei rettangoli e/o dei triangoli complementari;
- applicazione della formula per l’area del triangolo;
- fare ricorso alle formule per l’area quando le scomposizioni precedenti evidenziano dei triangoli di cui una base e l’altezza corrispondente seguono la quadrettatura e hanno misure intere o dei rettangoli i cui lati seguono le linee della quadrettatura.
- La strategia per conteggio è facilitata quando i lati passano tutti per i nodi della quadrettatura. È il caso per esempio per l’area delle figure D e G (24 u) che può essere determinata per conteggio di quadretti o di semi quadretti. Nelle altre configurazioni la procedura necessita di approssimazioni che possono portare a risultati non corretti.
- L’applicazione delle formule, quando sono note, è efficace per le figure “usuali” delle quali si possono determinare le misure. È il caso per le figure A B C D E per le quali l’area è ancora 24 u.
- L’analisi della scomposizione della figura in figure semplici è necessaria quando le formule non sono note o le figure non sono quelle “usuali”. Le figure possono essere viste, ciascuna, come inscritte in un rettangolo con i lati seguendo le righe della quadratura. Le loro aree possono allora essere calcolate togliendo all’area di tale rettangolo, l’area dei triangoli rettangoli che contornano ciascuna figura. L’area in quadretti della figura F è, ad esempio, data dal calcolo: 6 × 6 − 3 × (2 × 4 / 2) = 24; è anche possibile tracciare dei segmenti seguendo le linee della quadrettatura per ottenere una scomposizione in sotto-figure la cui area sia facile da calcolare. Con segmenti “orizzontali” si può ad esempio scomporre la figura F in un trapezio, un parallelogramma e un triangolo rettangolo e calcolare la sua area in quadretti effettuando (4 + 5) × 2/2 + 2 × 5 + 2 × 5/2 = 24.
poligono, triangolo, quadrilatero, rettangolo, trapezio, parallelogramm, area, unità d’area, lunghezza, unità di lunghezza, quadrettatura, formula
Punteggi attribuiti su 1681 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 225 (23%) | 334 (35%) | 251 (26%) | 89 (9%) | 64 (7%) | 963 | 1.41 |
| Cat 8 | 79 (11%) | 208 (29%) | 216 (30%) | 115 (16%) | 100 (14%) | 718 | 1.93 |
| Totale | 304 (18%) | 542 (32%) | 467 (28%) | 204 (12%) | 164 (10%) | 1681 | 1.63 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
In entrambe le categorie i risultati migliori sono quelli dove sono stati contati i quadretti o comunque è stato fatto riferimento ai lati dei quadretti e tali procedure sono molto più utilizzate in categoria 8. In categoria 7 molto spesso gli allievi si sono imbarcati in misurazioni con il righello, costringendoli a scomodi calcoli con numeri decimali per trovare le aree con l’uso delle formule.
Altre difficoltà evidenziate sono certamente quelle legate alla limitata abilità nella scomposizione delle figure, soprattutto in quelle con i lati non in posizione orizzontale-verticale. Le figure F e G sono quelle che hanno creato maggiori difficoltà. Si sono evidenziate anche una limitata gestione delle altezze, soprattutto nelle figure non convenzionali, e ancora la difficoltà ad individuare in un quadrato la relazione lato ≠ diagonale.
Dai risultati con i punteggi alle analisi a posteriori con gli elaborati
L’analisi a posteriori è stata condotta seguendo nel complesso la falsariga di un questionario proposto dal GIPL relativo a diversi problemi della prima prova del 29° RMT, fra i quali “I sette poligoni”.
1. Tra i punti "0" o "1" avete rilevato indicatori per determinare ostacoli all'appropriazione del problema?
- 1.A Ci sono gruppi che non hanno capito la richiesta di identificare i poligoni aventi la medesima area e, di conseguenza, non hanno cercato di sapere quale fosse l’area di ciascuno di essi?
Non figurano casi di questo tipo. Quasi tutti gli elaborati, corretti o incompleti o con errori, presentano almeno un inizio di spiegazione e mostrano l’appropriazione dell’enunciato, ma in alcuni casi viene determinata soltanto l’area del rettangolo D.
- 1.B Ci sono dei gruppi che non hanno mai utilizzato la quadrettatura?
Tra gli elaborati con punteggio “0”, gli errori sono per lo più dovuti al ricorso a misure con il righello e a evidenti difficoltà nel calcolo di aree. In qualche caso si evidenzia ancora confusione tra perimetro e area. In altri elaborati di categoria 7 emerge la mancata consapevolezza delle relazioni esistenti tra il contorno di una figura e la sua area.
Solo in pochi elaborati con punteggio “1” c’è un riferimento ai quadretti della quadrettatura.
2. Quali errori si sono rilevati nella determinazione dell’area di uno o più dei sette poligoni?
- 2.A Risposta approssimativa dovuta a misure di dimensioni con il righello.
Sia nella categoria 7 che nella 8, con punteggio 1, dopo aver suddiviso i poligoni in figure di diverse forme, si ricorre spesso a misure con il righello che non portano al risultato corretto.
Tra gli elaborati che presentano la soluzione con l’uso delle formule e le misurazioni non precise con il righello, sono rarissimi quelli che danno risposta corretta usando nel modo giusto l’approssimazione nel risultato.
- 2.B Errori di calcolo nell’uso di formule
Ricorso all’uso delle formule, non sempre utilizzate in modo corretto. Gli alunni non considerano l’altezza della figura e moltiplicano i lati tra loro. La misurazione dei lati è effettuata con l’ausilio del righello.
Alcuni gruppi utilizzano la formula di Pick ma commettono errori nel conteggio.
- 2.C Errori nella ricostruzione di quadretti interi con parti di quadretti
- 2.D Grado di difficoltà secondo i poligoni (dal rettangolo D al più complesso)
L’ultimo posto se lo contendono le figure E ed F in particolare in cat.7, ma anche C in entrambe le categorie; l’errore evidenzia chiaramente la difficoltà a gestire le figure con i lati che tagliano in diagonale i quadretti. In alcuni casi gli allievi hanno scomposto in parti il poligono E, non riconoscendolo come trapezio. Anche in categoria 7, annotando su ogni copia i riferimenti delle figure per le quali le aree trovate sono corrette, in base al grado di difficoltà si ottiene questa classificazione D, G, A, F, B, E, C.
3.Tra le aree corrette, quale tipo di risposta si rileva alla richiesta Mostrate come siete arrivati alla risposta
- 3 A. Nessuna spiegazione
Sono pochi gli elaborati che danno la risposta senza alcuna spiegazione, ma talvolta le spiegazioni sono poco chiare o, per esempio, scrivono “abbiamo contato i quadretti”. In genere la procedura è chiarita graficamente sui poligoni dell’elaborato e quasi sempre riguarda il conteggio del lato del quadretto, utilizzato come unità di misura di lunghezza. In vari casi il valore dell’area corrisponde al numero dei quadretti, ma vengono indicati i cm2 come unità di misura. Questo accade anche in categoria 8 e anche in elaborati con punteggi alti.
- 3.B I calcoli provenienti dall’applicazione di formule
In alcuni elaborati, sia di categoria 7 che di categoria 8, le misure sono quelle aventi come unità il lato di un quadretto. Vengono poi applicate correttamente le formule, dopo aver suddiviso alcune figure in diverse parti, in sintonia con l’analisi a priori “
- 3.C I dettagli della ricomposizione di parti di quadretti
Le ricomposizioni compaiono molto spesso sulle figure più semplici ma raramente sulle altre.
- 3.D Il dettaglio della ricerca di base e altezza
Ricorso alla scomposizione di figure o alla loro inscrizione in figure “classiche” e poi misura delle lunghezze sui lati dei quadretti. In entrambe le categorie, la misura corretta dell’area del poligono G è stata trovata dopo averlo scomposto in parti dove fosse agevole contare i quadretti.
Il problema era stato ovviamente concepito con uno scopo didattico. L’ambito delle aree presenta un ostacolo importante a causa dell'assenza di uno "strumento di misura delle aree", della prevalenza di automatismi scolastici che si basano su formule, sulla misurazione preliminare delle lunghezze in unità convenzionali dimenticando che, in questo caso, la quadrettatura è uno strumento efficace.
La scelta dell’opportuna unità di misura appare in tutta la sua evidenza in questo problema e tale tematica rafforza ancora di più l’interesse della sua discussione in un’attività in classe.
L’attività in classe può favorire una maggiore comprensione dell’equiscomponibilità: determinare l’area di figure complesse attraverso la loro suddivisione in altre la cui area è calcolabile con formule note e poi le successive somme o sottrazioni. Il problema è adatto anche a stimolare una riflessione sulle altezze delle figure proposte.
Le analisi a posteriori hanno evidenziato la necessità di lavorare per modificare la tendenza comune ad utilizzare acriticamente misurazioni con il righello, a scapito di un conteggio di quadretti su una quadrettatura, o di un ricorso a deduzioni o all’applicazione di conoscenze geometriche.
(c) ARMT, 2021-2024