Jogging au parc

Identification

Rallye: 29.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• CPX - Traiter des unités de mesure complexes (vitesse, densité, ...)
• CPX/VIT - Déterminer ou tenir compte d'une vitesse

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le temps entre les rencontres successives de deux personnes qui effectuent un parcours en boucle de 9450 m, en sens opposés, à des vitesses constantes : l’une mettant 45 minutes pour effectuer un tour du parcours, l’autre 30 minutes.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Comprendre que les deux personnes se rencontrent à 10 h en un point du parcours, qu’elles continuent en s’éloignant l’une de l’autre, puis qu’elles se rapprocheront pour se rencontrer à nouveau. C’est-à-dire que l’une effectue une partie du parcours et la seconde en effectue une autre partie et que, lors de leur nouvelle rencontre, ces deux parties représentent un parcours entier ou 9450 mètres. (Ce qui peut se représenter par le dessin des deux parties sur une boucle, du genre

figure

- Comprendre ensuite que si Émile met 30 minutes pour effectuer le parcours entier et Anne 45 minutes, cela signifie que Émile est plus rapide et que sa partie du parcours sera plus grande que celle d’Anne, mais, comme dit précédemment, la somme des deux parties est un parcours entier ou 9450 m

Ce n’est qu’à la condition de la perception que la somme des deux parties est le parcours complet qu’on peut passer aux valeurs numériques nécessaires : parcourir une partie à la vitesse de 9450 m en 30 minutes et l’autre partie à la vitesse de 9450 m en 45 minutes :

Par essais successifs, par exemple 9450 m en 30 minutes correspond à 4725 m en 15 minutes et 9450 m en 45 minutes correspond à 3150 m en 15 minutes et, les deux ensemble 4725 + 3150 = 7875 mètres en 15 minutes (ce qui est insuffisant) puis après transformations en mètres par minutes, trouver les deux vitesses : 315 et 210 mètres par minutes et aboutir après quelques essais à 18 minutes. Ou : en prenant en compte les parcours simultanés (somme des deux vitesses) qui conduit à 525 m par minute suivi de la division 9450 : 525 = 18 minutes.

Ou : par essais, sans tenir compte des 9450 mètres mais en exprimant les vitesses en fraction du parcours / minute : 1/30 et 1/45 du parcours / minute en arrêtant la procédure à la 18e minute, lorsque la somme des deux fractions est égale à 1. Ou : en prenant en compte les parcours simultanés (somme des deux vitesses) qui conduit à 1/30 + 1/45 = 5/90 = 1/18 du parcours par minute suivi de la division 1 : (1/18) = 18.

D’autres procédures sont évidemment possibles : par algèbre ou par représentation graphique des deux droites représentant : pour la première, la distance parcourue par l’une des personnes en fonction du temps (fonction linéaire croissante) ; pour la seconde le complément de la distance que la deuxième personne doit parcourir (fonction affine décroissante).

Pour les exploitations didactiques du problème on peut envisager la transition de la pensée proportionnelle à la pensée fonctionnelle lors du passage à un parcours fermé d’une longueur indéterminée.

Notions mathématiques

vitesse, temps, distance,

Résultats

29.I.19

Points attribués sur 282 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (à 10:18 ou après 18 minutes) avec la description claire et complète de la procédure (par exemple : un tableau, un graphique qui représente les positions de Anne et Émile sur le tour, des équations ou les essais effectués avec les calculs correspondants)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications peu claires ou incomplètes. Par exemple seulement une vérification du résultat sans expliquer une procédure ou des essais effectués.
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication,
  ou réponse située entre 16 et 20 minutes due à des erreurs de calcul avec une procédure essentiellement correcte,
  ou réponse située entre 16 et 20 minutes comme essai approximatif
• 1 point: Début de raisonnement correct,
  ou solution erronée (90 minutes) parce qu’on a calculé après combien de temps les deux personnes se retrouveront au même endroit qu’à leur première rencontre
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou incapacité de calculer les montants

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