Banca di problemi del RMT
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Determinare il tempo tra gli incontri successivi di due persone che effettuano un percorso su un circuito di $9450$ m, in versi opposti, a velocità costanti: uno impiega $45$ minuti per completare un giro del percorso, l’altro $30$ minuti.
Analisi a priori:
- Capire che le due persone si incontrano alle $10$ in un certo punto del percorso, che continuano allontanandosi l'uno dall'altro e che si avvicineranno per incontrarsi di nuovo. Vale a dire, l’uno fa una parte del percorso e la seconda fa un'altra parte, e che, quando si incontreranno di nuovo, queste due parti rappresentano un intero percorso o $9450$ metri. (Tutto ciò può essere rappresentato disegnando entrambi i versi di percorrenza su di un circuito del tipo in figura).
- Capire poi che se Emilio impiega $30$ minuti per effettuare l’intero percorso e Anna $45$ minuti, significa che Emilio è più veloce e che la sua parte del percorso sarà più lunga di quella di Anna, ma, come detto in precedenza, la somma delle due parti è un intero percorso di $9450$ m.
È solo a condizione della percezione che la somma delle due parti è il percorso completo che si può passare ai valori numerici necessari: percorrere una parte alla velocità di $9450$ m in $30$ minuti e l'altra parte alla velocità di $9450$ m in $45$ minuti.
- Con prove successive, ad esempio $9450$ m in $30$ minuti corrisponde a $4725$ m in $15$ minuti e $9450$ m in $45$ minuti corrisponde a $3150$ m in $15$ minuti e, tutti e due insieme $4725 + 3150 = 7875$ metri in $15$ minuti (che è insufficiente). Poi, dopo trasformazioni in metri al minuto, trovare le due velocità: $315$ e $210$ metri al minuto, ed arrivare dopo alcune prove ai $18$ minuti.
Oppure
- considerando i percorsi simultanei (somma delle due velocità) che portano a $525$ m al minuto seguiti dalla divisione $9450 \div 525 = 18$ minuti.
Oppure - per tentativi senza tener conto dei $9450$ m, ma esprimendo le velocità in frazioni del percorso/al minuto: $1/30$ e $1/45$ del percorso / minuto, fermando la procedura al $18^\circ$ minuto, quando la somma delle due frazioni è uguale a $1$.
Oppure - considerando i percorsi simultanei (somma delle due velocità) che portano a $1/30 + 1/45 = 5/90 = 1/18$ del percorso al minuto, seguito dalla divisione $1 \div (1/18) = 18$.
Altre procedure sono evidentemente possibili: algebricamente o con rappresentazioni grafiche delle due rette che rappresentano per la prima, la distanza percorsa da una delle persone in funzione del tempo (funzione lineare crescente); per la seconda il complemento della distanza che la seconda persona deve percorrere (funzione affine decrescente).
Per le indicazioni didattiche del problema si può ricercare il riconoscimento della transizione dal pensiero proporzionale al pensiero funzionale, nella situazione di un percorso chiuso di lunghezza indeterminata.
velocità, tempo, distanza
Punti attribuiti su 282 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 45 (31%) | 51 (36%) | 8 (6%) | 7 (5%) | 32 (22%) | 143 | 1.51 |
| Cat 10 | 35 (25%) | 29 (21%) | 8 (6%) | 11 (8%) | 56 (40%) | 139 | 2.17 |
| Totale | 80 (28%) | 80 (28%) | 16 (6%) | 18 (6%) | 88 (31%) | 282 | 1.84 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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