Comme vous avez de grandes jambes ... (II)

Identification

Rallye: 29.II.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• CPX - Traiter des unités de mesure complexes (vitesse, densité, ...)
• CPX/VIT - Déterminer ou tenir compte d'une vitesse

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer la durée nécessaire pour parcourir une distance mesurée en pas, à une vitesse de deux pas par unité de temps, à la durée nécessaire pour parcourir, à une vitesse de trois pas par unité de temps, une longueur correspondant à la première distance augmentée de ses deux tiers. Calculer ensuite la fraction de chemin restant à parcourir sur une de ces distances lorsque l’autre a été parcourue complétement.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Comprendre les données de l’énoncé en s’appuyant éventuellement sur un schéma:

• La longueur d’un bond du loup est de $3$ pas;
• Le Petit Chaperon Rouge (PCR) parcourt une distance de deux pas dans la durée pendant laquelle le loup effectue un bond;
• la longueur du chemin emprunté par le loup est cinq tiers de fois celle du raccourci.

- Faire des essais de calculs:

• en donnant des valeurs à la longueur du raccourci (par exemple $300$ pas) trouver que le PRC le parcourt en $150$ unités de temps pendant lesquelles le loup fait l’équivalent de $15 \times 3 = 450$ pas à comparer à la longueur totale de son chemin ( ($300$ pas $+ 2/3 \times 300$ pas $= 500$ pas), conclure que c’est le petit chaperon rouge qui arrivera le premier et constater qu’il reste au loup encore à parcourir un dixième de cette longueur totale. ($50$ pas$/500 $pas). Refaire le même constat avec d’autres valeurs sans parvenir à le prouver dans le cas général.
• Ou, en donnant d’abord des valeurs à la longueur du chemin emprunté par le loup (par exemple $600$ pas). En déduire la longueur du raccourci en remarquant (par exemple sur un schéma) que sa longueur correspond à $3/5$ de longueur totale du chemin ($360$ pas). Calculer la durée en unités de temps pour parcourir ces parcours ($200$ pour le chemin; $180$ pour le raccourci) pour en conclure que le PRC arrivera le premier et qu’il restera au loup $20$ bonds à faire sur les $200$ de son chemin soit un dixième de son chemin. Refaire le même constat avec d’autres valeurs sans parvenir à le prouver dans le cas général.
• Ou, en donnant d’abord des valeurs à la longueur du chemin emprunté par le loup (par exemple $600$ pas). En déduire la longueur du raccourci en remarquant (par exemple sur un schéma) que sa longueur correspond à $3/5$ de longueur totale du chemin ($360$ pas). Calculer la durée en nombre de bonds nécessaires pour parcourir ces chemins ($200$ bonds pour le chemin; $180$ pour le raccourci) pour en conclure que le petit chaperon rouge arrivera le premier et qu’le restera au loup un dixième du parcours à effectuer ( ($600 – 3 \times 180)/600 = 60/600$). Refaire le même constat avec d’autres valeurs sans parvenir à le prouver dans le cas général.

Ou

- conduire un raisonnement déductif: remarquer que sur une même durée le loup parcourt une fois et demie le nombre de pas du PCR que par conséquent il aura parcouru une fois et demie la longueur du raccourci quand le petit chaperon rouge l’aura parcouru en entier. En déduire que, comme $2/3$ est supérieur à $1/2$, le petit chaperon rouge arrivera le premier.

- Puis: en déduire qu’il restera au loup à parcourir ($2/3 – 1/2 = 1/6$ de la longueur du raccourci à parcourir. Calculer ensuite le rapport entre cette fraction de raccourci et la longueur totale du chemin emprunté par le loup ($1/6 \div 5/3 = 3/30$) pour en conclure qu’il reste au loup encore un dixième de son chemin à parcourir.

Ou

- après avoir remarqué (par exemple sur un schéma) que la longueur du raccourci correspond à $3/5$ de longueur totale du chemin emprunté par le loup, calculer la portion de ce chemin parcourue par le loup ($1$ fois et demie les $3/5$ du chemin ($3/5 + 1/2 \times 3/5 = 9/10$) ) et en déduire qu’il lui reste $1/10$ de son chemin à parcourir

Notions mathématiques

distance, longueur, temps, durée, vitesse, proportionnalité

Résultats

29.II.18

Points attribués, sur 265 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (lorsque le petit chaperon rouge arrive, le loup a encore un dixième de son chemin à parcourir) avec des explications claires présentant le raisonnement suivi pour monter que la solution trouvée est générale.
• 3 points: Réponse correcte avec des explications partielles, ou au moins deux essais de calculs à partir desquels la réponse a pu être conjecturée et vérifiée.
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul avec un raisonnement correct.
• 1 point: Début cohérent de recherche (par exemple raisonnement correct conduisant à montrer que le petit chaperon rouge arrivera la première).
• 0 point: Incompréhension du problème.

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