Banque de problèmes du RMT
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Trouver la mesure du côté d’un carré de même périmètre qu’un triangle équilatéral de 12 cm de côté et le dessiner en vraie grandeur.
- Comprendre qu’il est possible de former de nombreuses figures avec une même boucle tendue sur une feuille et que toutes ces figures auront le même périmètre.
- Percevoir que la « longueur » de la boucle de la photo est 36 cm (3 x 12) et qu’il s’agit du périmètre du triangle.
- Imaginer le carré, avec la même boucle tendue entre 4 doigts et déterminer la longueur de son côté, à partir de la « longueur » de la boucle qui est 36 (cm). Le côté du carré mesurera donc 9 (cm) (36 ÷ 4)
- Construire le carré.
géométrie, carré, triangle, périmètre
Points attribués sur 1441 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 207 (32%) | 77 (12%) | 54 (8%) | 103 (16%) | 208 (32%) | 649 | 2.04 |
| Cat 4 | 127 (16%) | 59 (7%) | 56 (7%) | 122 (15%) | 428 (54%) | 792 | 2.84 |
| Total | 334 (23%) | 136 (9%) | 110 (8%) | 225 (16%) | 636 (44%) | 1441 | 2.48 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le problème est nettement mieux réussi dans cette version que dans la version d'origine La boucle(21.F.01. cat. 3-4), selon les personnes qui ont attribué les points dans les sections de SI, RZ, RV (environ 400 copies)
Les erreurs ou imprécisions sont plus fréquentes en catégorie 3 qu'en catégorie 4.
Exemple: Abbiamo ragionato. Invece che fare un quadrato di 12 cm lo abbiamo diviso in 3 cm ogni 4 lati ed e venuto fuori questo quadrato (le dessin est un carré de 3 x 3 cm)
Les opérations mentionnées les plus fréquentes pour déterminer le côté du carré sont 3 x 12 = 36 suivi de 36 : 4 = 9, mais on trouve aussi de nombreuses additions 9 + 9 + 9 + 9 = 36.
De nombreuses copies présentent le dessin du triangle qui est rarement équilatéral mais avec deux côtés de 12 cm.
Les constructions du carré sont faites à la règle, sur papier quadrillé, les côtés sont soit en vraie grandeur soit à l'échelle, de 9 carreaux du quadrillage. Le recours à l'équerre n'est pas visible. En catégorie 3, les côtés ne suivent pas toujours les tracés du quadrillage.
Plusieurs groupes ont signalé qu'ils ont essayé de construire le carré en s'aidant d'un fil tendu entre quatre doigts mais ces constructions effectives ne sont pas précises
Par exemple Il quadrato misura 11 cm orizzontale e 11 cm verticale. Noi abbiamo fatto di prendere il filo e l’abbiamo legato e l’abbiamo preso in 4 dita e l’abbiamo misurato con il righello e abbiamo fatto 11 x 4 = 44 e abbiamo capito che il quadrato che ci chiedeva il testo che ci chiedeva di che misura sono i lati del quadrato. E alla fine i lati del quadrato sono in tutto 44. (le dessin est un carré de 11 cm de côté).
Les personnes qui ont attribué les points proposeraient le problème en classe, en catégories 3, 4 et aussi 5.
Le contexte est effectivement à exploiter de manière intensive pour donner une image concrète du concept de périmètre. La boucle, objet physique souple, est parfaitement adaptable pour représenter des triangles, carrés, rectangles et autres polygones.
Le contexte de périmètre ne se limite pas à des cas particuliers de mesures de segments et de leur addition, qu'on trouve dans les nombreux "exercices" traditionnels. Le "périmètre" doit aussi être considéré comme une figure fermée à une dimension (1D), qui peut être modifiée dans sa forme.
La boucle de 36 cm de longueur est un objet permettant de former des "familles" de triangles ou de rectangles parmi les figures élémentaires.
L'activité proposée ici va au-delà d'un simple problème avec recherche de figures particulières, elle envisage "l'étude" des triangles isocèles de 36 cm de périmètre et les découvertes que peut faire l'élève en y consacrant du temps: les différentes façons de construire un triangle isocèle, le concept d'axe de symétrie, les liens entre la mesure de la "base" et celles des côtés égaux, l'apparition du triangle équilatéral dans la famille, les limites de la "hauteur" et/ou de la "base", la variation de l'espace intérieur (ou de l'aire) malgré la constance du périmètre ...