Banque de problèmes du RMT
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Calculer la différence entre les aires de deux carrés de même centre et de côtés parallèles dont le grand a une aire de 576 cm$^2$ et dont le périmètre du petit vaut la moitié de celui du grand.
Appropriation
Percevoir que la partie grise (le cadre) est la différence entre l'aire du grand carré (576 cm²) et celle du petit carré, qu'on ne connaît pas encore. Pour les périmètres, on sait seulement que celui du petit carré est la moitié de celui du grand, qu'on ne connaît pas encore.
Ces deux grandeurs inconnues se situent, l'une dans le domaine des aires (2D ou deux dimensions), l'autre dans celui des périmètres (1D ou une dimension) et représentent l'obstacle majeur pour des élèves de catégories 5 et 6: conflit aire-périmètre.
Procédure
Pour l'élève, la procédure de résolution devrait se dérouler en une succession d'étapes dans un ordre déterminé par les données de l'énoncé.
Le "passage obligé" pour progresser dans la résolution est la détermination du côté du grand carré à partir de son aire (576 cm²). Les élèves qui connaissent l'opération réciproque de l'élévation au carré peuvent effectuer l'opération √576 = 24 et y associer l'unité (1D) "cm". Les autres peuvent procéder par essais successifs.
La deuxième étape se déroule dans le domaine des longueurs à partir de la relation "Le périmètre du carré intérieur vaut la moitié du périmètre du carré extérieur". (Il s'agit d'une manière plus complexe - entre les périmètres - d'exprimer la relation directe - entre les côtés - "le côté du carré intérieur vaut la moitié du côté du caré extérieur!). Que l'on passe par les périmètres ou par les côtés, la mesure du côté du petit carré est 12 cm.
La troisième étape fait revenir du domaine (1D) à celui de (2D): l’aire du petit carré : 12 x 12 ("cm x cm") = 144 (cm²).
La quatrième étape (en (2D) consiste à déterminer la surface du cadre en faisant la différence entre 576 cm² et 144 cm² (432 cm²).
Savoirs mobilisés
- la relation entre le côté et l'aire d'un carré
carré, rectangle, périmètre, longueur, côté, division, soustraction
Points attribués sur 3066 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 454 (51%) | 78 (9%) | 64 (7%) | 54 (6%) | 235 (27%) | 885 | 1.48 |
| Cat 6 | 679 (60%) | 76 (7%) | 60 (5%) | 99 (9%) | 219 (19%) | 1133 | 1.21 |
| Cat 7 | 156 (15%) | 73 (7%) | 86 (8%) | 127 (12%) | 606 (58%) | 1048 | 2.91 |
| Total | 1289 (42%) | 227 (7%) | 210 (7%) | 280 (9%) | 1060 (35%) | 3066 | 1.87 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le tableau des résultats ci-dessus montre à l'évidence que les multiples passages entre les aires (2D) et les longueurs (1D) ne sont maîtrisés qu'à partir de la catégorie 7.
L'analyse a posteriori des copies du 30e RMT ou de futures expérimentations en classe devra déterminer quels sont les obstacles rencontrés lors des différentes étapes de la résolution par les groupes d'élèves des catégories 5 et 6 (dont plus de la moitié se situent sous le critère "incompréhension du problème".
Il sera en particulier intéressant de savoir si les groupes de ces catégories (environ un tiers) qui sont arrivés à la solution (432 cm²) ont suivi le cheminement décrit dans la rubrique "Tâche de résolution et savoirs mobilisés" et quelles sont les erreurs fréquentes. (Avant d'examiner les copies, on peut imaginer par exemple 288 cm$^2$ dans le cas où l'aire du petit carré est, comme son périmètre, la moitié de celle du grand carré, ...
Sans avoir encore analysé a posteriori les copies, on perçoit l'intérêt et la nécessité d'une exploitation didactique après la résolution, lors de la confrontation des réponses obtenues, au vu des nombreuses erreurs révélées par les résultats statistiques.
Pour des élèves de catégories 5 et 6, il s'agira de faire apparaître le conflit évoqué dans la rubrique citée précédemment: distinguer les mesures de longueur (1D) de celles d'aire (2D).
Ils ne savent pas encore, à ce stade de leur construction de ces connaissances, que puisque "le périmètre du petit carré est la moitié de celui du grand" il en sera de même pour les côtés : "le côté du petit carré sera la moitié de celui du grand". Ils n'ont pas encore perçu que "si un carré a un côté qui est la moitié de celui d'un autre carré, son aire sera le quart de l'autre. (Il n'y a pas de proportionnalité entre les mesures de longueur et les mesures d'aire!)
Il sera donc nécessaire de passer par des constructions effectives et de nombreuses activités pratiques pour faire acquérir ces deux relations fondamentales:
- pour les éléments de figures à une dimensions (1D) (côté, diagonale, périmètre, ...), le rapport de similitude entre deux figures ne varie pas;
- pour les éléments de figures à deux dimensions (2D), le rapport des aires est le carré du rapport de similitude;
- pour des éléments de figures à trois dimensions, on arrivera à un rapport qui sera le rapport de similitude élevé à la puissance 3.
Lorsque ces relations seront construites et appliquées, le problème Un beau cadre pourra être résolu "directement": puisque l'air du petit carré est le quart de celle du grand, l'aire du cadre gris est les trois quarts de celle du grand, et il suffira de calculer 3/4 de 576.
Après les nombreuses années d'analyses a posteriori de nos problèmes de géométrie plane, on ne peut qu'espérer que les bons élèves de niveau "maturité scientifique" seront capables de le résoudre ainsi! Sinon, ils pourront passer par une résolution algébrique où les grandeurs en jeu "perdent" leur dimension.