Les huit pièces

Identification

Rallye: 30.II.18 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEM - Effectuer une démonstration
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

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Résumé

Expliquer l’apparition d’un espace libre (trou) dans une figure qui semble être un triangle, composée de huit pièces données alors que ces huit pièces, disposées différemment recouvrent entièrement une figure qui semble être le même triangle que le précédent.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation

Observer les huit pièces, reconnaître leurs formes ; les retrouver dans les deux figures et vérifier que ce sont à chaque fois les huit mêmes pièces, en les dessinant à l’intérieur des figures.

Vérifier que les deux figures, qui semblent être des triangles isocèles, ont la même « base » (10) et la même « hauteur » (8)

Constater que la présence d’un trou de deux carrés est une énigme qu’il faut chercher à expliquer comme le demande l’énoncé.

Phase de résolution

Il y a alors de nombreuses pistes à envisager pour comprendre cette disparition ou apparition de deux carrés :

- Une nouvelle vérification pièce par pièce pour vérifier qu’il n’y a pas eu de substitution ou de tromperie dans l’énoncé mais seulement des déplacements internes des huit pièces.

- Détermination de l’aire de chaque pièce et de leur somme (3 + 3 + 7, 7 + 7,5 + 3 + 3 + 6 + 6 = 39 carreaux) et des deux figures considérées comme des triangles (10 x 8)/2 = 40 . Puisque 39 est différent de 40, la figure sans trou ne peut pas être un triangle (un carreau de moins), ni la figure avec trou (un carreau de plus).

- Imaginer que les aires des pièces se modifient lorsqu’on les déplace puis écarter cette hypothèse.

- Découper les deux figures et les superposer sur un triangle dont la base et la hauteur sont comme celles des deux figures, afin de se rendre compte que les figures données ne sont pas des triangles (l'une est trop "mince" et l'autre est trop "large")

- Remettre en cause sa perception visuelle des deux figures dont le pourtour extérieur semble être un même triangle alors qu’en fait ni l’un ni l’autre ne le sont. Leurs côtés obliques ne sont pas des segments de droite mais une ligne brisés formée de deux segments non parallèles.

Savoirs mobilisés

Le calcul de l'aire de figures élémentaires, par dénombrement de carrés-unités ou par application de la formule de l'aire du triangle et la connaissance des propriétés du triangle (trois côtés rectilignes) sont les seuls savoirs immédiatsen jeu dans cette activité.

Le savoir-clé est la notion de "pente" des hypoténuses des triangles (ou rapport des côtés de l'angle droit): 2/3 est différent de 3/5.

Notions mathématiques

aire, rectangle, triangle, unité d'aire, pavage, découpage, pente

Résultats

23.I.18

Points attribués, sur 363 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Constatation explicite que les deux figures ne sont pas des triangles, avec la description des deux côtés obliques composés de deux segments non parallèles (qui ne sont pas sur la même droite) et le dessin des huit pièces ou recomposition des deux figures, ou la superposition sur un « vrai » triangle, ou par le constatation que l’aire des 8 pièces (39) étant différentes de celle d’un triangle de base 10 et de hauteur 8 (40) permet d’affirmer que les deux figures d’aires 39 et 41 ne peuvent pas être des triangles
• 3 points: Dessin des pièces sur les deux figures et constatation que les deux figures ne sont pas des triangles sans détail sur les côtés obliques ou sur les aires
• 2 points: Dessin des pièces sur les deux figures avec éventuellement le comptage du nombre total des carrés des deux figures (40) et 38) mais sans être capable de donner une explication plausible de la différence de deux carrés d’une figure à l’autre
• 1 point: Début de recherche correct, par exemple dessin des pièces dans une seule des figures )
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Une majorité des groupes ne perçoivent pas que les deux figures ne sont pas des triangles, malgré l'égalité des aires des pièces.

Cette perception est occultée par la priorité accordée à une "visualisation" superficielle des deux figures.

Exploitations didactiques

L'enseignement traditionnel évite ou ignore les situations "d'illusion d'optique". C'est l'occasion d'y remédier et de faire constater aux élèves que les triangles rectangles ne sont pas tous égaux; et que pour les différencier il faut déterminer leurs angles ou le rapport dee mesures de leurs deux côtés de l'angle droit.

Pour aller plus loin

voir Découpage étrange (23.I.18, cat. 9-10)