La cordicella (II)

Identificazione

Rally: 21.F.08 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

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Sunto

Trovare i lati di un quadrato e di un triangolo equilatero dello stesso perimetro sapendo che il lato del triangolo misura 4 cm in più di quello del quadrato ; successivamente trovare i lati di un rettangolo di rapporto 2/1, il cui perimetro è uguale a quello delle prime due figure.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

Comprendere che tutte le figure hanno lo stesso perimetro, cioè la lunghezza della cordicella: ciò permetterà di stabilire le uguaglianze.

Scegliendo come misura comune o «unità» il lato del quadrato, l’uguaglianza dei perimetri del triangolo e del quadrato si traduce nell’uguaglianza tra tre «unità» aumentate di 4 da una parte e di quattro «unità» dall’altra parte. Rendersi conto allora dell’equivalenza tra i tre «aumenti di 4», cioè 12, e una delle quattro «unità» e dedurne che il lato del quadrato misura 3  4 = 12, in cm. (Questo ragionamento traduce la risoluzione algebrica dell’adulto: 3(x + 4) = 4x o le equazioni equivalenti 3x + 12 = 4x da cui x = 12; o ancora il sistema: 3c = 4x e c = x + 4, …)

Oppure: aiutandosi con un disegno rappresentare le relazioni tra il lato del triangolo e quello del quadrato:

e, osservando il disegno. dedurre che il lato del quadrato misura 4 + 4 + 4 = 12 in cm

Oppure: organizzare una ricerca per tentativi: scegliere una lunghezza per il lato del quadrato (o del triangolo), dedurne la lunghezza della cordicella, poi quella del lato dell’altra figura e verificare se lo scarto è proprio di 4 cm o dedurne la lunghezza del lato dell’altra figura e verificare se si ottiene la stessa lunghezza della cordicella per entrambe le figure.

Dedurre, in un modo o nell’altro, che il lato del quadrato misura 12 cm e il lato del triangolo 16 e che la misura della cordicella è 48 cm.

Oppure: comprendere che la misura della cordicella deve essere un multiplo sia di 3 che di 4, quindi di 12. Considerare i multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 ... e per ciascuno di essi verificare se i quozienti delle divisioni per 3 per 4 differiscono di 4. Trovare che questo accade solo per 48. (La soluzione della seconda parte del problema dipende dal perimetro trovato precedentemente: (48 o un altro numero in caso di errore)

decomporre 48 in 4 parti uguali due a due, in modo che le une siano il doppio delle altre (o proporzionalmente a 1, 1, 2 e 2) o decomporre 24 cm in due parti di cui una doppia dell’altra (o proporzionalmente a 1 e 2), e ciò può essere fatto:

• per tentativi e aggiustamenti;
• o considerando il più piccolo numero contenuto tre volte in 24, da cui le risposte 8 cm e 16 cm.

Nozioni matematiche

aritmetica, moltiplicazione, divisione, suddivisione, proporzionalità, quadrato, triangolo equilatero, rettangolo, perimetro, pre-algebra, concetto di equazione

Risultati

21.F.08

Punteggi attribuiti su 195 classi di 22 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposte corrette (8 cm e 16 cm) con spiegazioni esaurienti (calcolo delle misure dei lati del quadrato, del triangolo e del loro perimetro e ripartizione proporzionale)
• 3 punti: Risposte corrette con spiegazioni incomplete o con solo verifiche
• 2 punti: Risposte corrette senza spiegazioni
  oppure un errore di calcolo per le misure dei lati del triangolo o del quadrato o del perimetro, seguito da una ripartizione corretta del perimetro del rettangolo
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto
  oppure, ad esempio, solo la misura del lato del quadrato (12 cm)
• 0 punto: Incomprensione del problema