Le paquet de Claire

Identification

Rallye: 22.II.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, GM, FN, AL
Familles:

• FU - Etudier le comportement d'une fonction
• FU/EX - Chercher un minimum ou un maximum d’une fonction

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Résumé

Calculer les dimensions a, b et c d’un parallélépipède rectangle de volume maximal, sachant que : a ≤ 100 et a + 2 (b + c) ≤ 200.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Considérer que la longueur du parallélépipède ne doit pas dépasser 100 centimètres, exprimer le périmètre de la base du paquet en fonction de sa largeur et de sa hauteur et comprendre que la somme de la longueur et du périmètre de la base ne doit pas dépasser 200 cm.

- Se souvenir de la formule pour calculer le volume d’un parallélépipède : abc, où a, b et c sont les mesures des trois dimensions, et reconnaître qu’à longueur égale, pour avoir un volume maximal, l’aire de cette base doit également être la plus grande possible.

- En fixant la longueur du parallélépipède et le périmètre de la base par exemple à 100 centimètres, faire varier les dimensions de la base pour calculer les volumes correspondants :

• avec b = c = 25 cm, le volume est 25×25×100 = 62 500 cm3
• avec b = 24 cm et c = 26 cm, le volume est 24×26×100 = 62 400 cm3
• avec b = 22 cm et c = 28 cm, le volume est 22×28×100 = 61 600 cm3
• avec b = 20 cm et c = 30 cm, le volume est 20×30×100 = 60 000 cm3
• avec b = 10 cm et c = 40 cm, le volume est 10×40×100 = 40 000 cm3

- Se rendre compte que parmi les rectangles de même périmètre, le carré est celui dont l’aire est la plus grande et donc que pour une longueur fixée du pavé, on obtiendra un volume maximal si la base est un carré.

- Constater que le volume peut augmenter en diminuant la longueur et en augmentant le périmètre de la base. Par exemple, choisir 30 cm pour le côté de la base carrée et 80 cm pour la longueur du pavé, ce qui donne un volume de 30×30×80 = 72 000 cm3.

- Procéder par essais successifs ordonnés et découvrir que le parallélépipède dont le volume est maximal (74 052 cm3) est celui dont la longueur est de 68 cm et le périmètre de base de 132 cm (33 × 4).

Notions mathématiques

volume, minimum, longueur, parallélépipède rectangle

Résultats

22.II.16

Points attribués sur 835 copies de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte (base : 33×33, longueur : 68 cm) déterminée au moyen d’essais organisés, avec justification du choix d’une base carrée et détail des calculs
• 3 points: Réponse exacte sans justification du choix de la base carrée et obtenue au moyen de tentatives peu organisées
• 2 points: Réponse exacte sans explications
  ou réponse non optimale relative à un parallélépipède à base carrée (34×34×64 ou bien 32×32×72)
• 1 point: Réponse 25×25×100 obtenue avec des tentatives qui maintiennent maximale la longueur du paquet
  ou début de raisonnement correct (par exemple arriver à comprendre que la de base doit être carrée ou bien calcul du volume d’au moins cinq parallélépipèdes)
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou volumes inférieurs à 62 500 cm3

Exploitations didactiques

Les résultats précédents montrent que le problème n’est pas adapté au développement cognitif des élèves des catégories 8 à 10.