Il pacco di Carla

Identificazione

Rally: 22.II.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: 3D, GM, FN, AL
Famiglie:

• FU - Studiare il comportamento di una funzione
• FU/EX - Cercare un minimo o un massimo di una funzione

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Sunto

Calcolare le dimensioni a,b,c di un parallelepipedo rettangolo di volume massimo, sapendo che: a ≤ 100 e a + 2 (b + c) ≤ 200.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

(Analisi a priori del compito)

- Considerare che l’altezza del parallelepipedo non deve superare 100 centimetri ed esprimere il perimetro di base della scatola in funzione delle due dimensioni e comprendere che la somma della altezza e del perimetro di base non deve superare i 200 cm.

- Ricordare la formula per il calcolo del volume di un parallelepipedo: abc, dove a, b e c sono le misure delle tre dimensioni, e riconoscere che, a parità di altezza per avere un volume massimo deve essere massima l’area della base.

- Fissando l’altezza del parallelepipedo e il perimetro di base entrambe a 100 centimetri, variare le misure delle dimensioni della base per calcolare i corrispondenti volumi. Ad esempio:

con b = c = 25 cm, il volume è 25×25×100 = 62500 cm3

con b = 24 cm e c = 26 cm, il volume è 24×26×100 = 62400

con b = 22 cm e c = 28 cm, il volume è 22×28×100 = 61600

con b = 20 cm e c = 30 cm, il volume è 20×30×100 = 60000

con b =10 cm e c = 40 cm, il volume è 10×40×100 = 40000l

- Rendersi conto che fra i rettangoli isoperimetrici il quadrato è quello di area massima e dunque che, a parità di altezza, si otterrà il volume massimo se la base è un quadrato.

- Verificare che il volume può aumentare diminuendo l’altezza e aumentando il perimetro di base. Per esempio, scegliendo 30 cm per il lato del quadrato di base e 80 cm per l’altezza, si ottiene un volume di 30×30×80 = 72 000 cm3.

- Procedere per tentativi ordinati e scoprire che il parallelepipedo il cui volume è massimo, pari a 74052 cm3, è quello con altezza di 68 cm e perimetro di base di 132 cm (33 × 4).

Nozioni matematiche

volume, minimo, lunghezza, parallelepipedo rettangolo

Risultati

22.II.16

Punteggi attribuiti su 835 elaborati di 18 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta esatta (base: 33 × 33, altezza: 68 cm) determinata mediante tentativi organizzati, giustificazione della scelta della base quadrata e dettaglio dei calcoli
• 3 punti: Risposta esatta senza giustificazione della scelta della base quadrata e ottenuta mediante tentativi poco organizzati
• 2 punti: Risposta esatta senza spiegazioni
  oppure risposta non ottimale relativa ad un parallelepipedo a base quadrata (34×34×64 oppure 32×32×72)
• 1 punto: 1 Risposta 25 × 25 × 100 ottenuta con tentativi che mantengono massima l’altezza del pacco
  oppure inizio di ragionamento corretto (ad esempio arrivare a capire che la base deve essere quadrata oppure calcolo del volume di almeno cinque parallelepipedi)
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure calcolo di volumi minore di 62500 cm3

Indicazioni didattiche

I risultati precedenti mostrano che il problema non è adattato allo sviluppo cognitivo degli allievi delle categorie da 8 a 10.