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Banca di problemi del RMTgm8-it |
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Calcolare le dimensioni a,b,c di un parallelepipedo rettangolo di volume massimo, sapendo che: a ≤ 100 e a + 2 (b + c) ≤ 200.
- Considerare che l’altezza del parallelepipedo non deve superare 100 centimetri ed esprimere il perimetro di base della scatola in funzione delle due dimensioni e comprendere che la somma della altezza e del perimetro di base non deve superare i 200 cm.
- Ricordare la formula per il calcolo del volume di un parallelepipedo: abc, dove a, b e c sono le misure delle tre dimensioni, e riconoscere che, a parità di altezza per avere un volume massimo deve essere massima l’area della base.
- Fissando l’altezza del parallelepipedo e il perimetro di base entrambe a 100 centimetri, variare le misure delle dimensioni della base per calcolare i corrispondenti volumi. Ad esempio:
con b = c = 25 cm, il volume è 25×25×100 = 62500 cm3
con b = 24 cm e c = 26 cm, il volume è 24×26×100 = 62400
con b = 22 cm e c = 28 cm, il volume è 22×28×100 = 61600
con b = 20 cm e c = 30 cm, il volume è 20×30×100 = 60000
con b =10 cm e c = 40 cm, il volume è 10×40×100 = 40000l
- Rendersi conto che fra i rettangoli isoperimetrici il quadrato è quello di area massima e dunque che, a parità di altezza, si otterrà il volume massimo se la base è un quadrato.
- Verificare che il volume può aumentare diminuendo l’altezza e aumentando il perimetro di base. Per esempio, scegliendo 30 cm per il lato del quadrato di base e 80 cm per l’altezza, si ottiene un volume di 30×30×80 = 72 000 cm3.
- Procedere per tentativi ordinati e scoprire che il parallelepipedo il cui volume è massimo, pari a 74052 cm3, è quello con altezza di 68 cm e perimetro di base di 132 cm (33 × 4).
Punteggi attribuiti su 835 elaborati di 18 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 8 | 447 (77%) | 105 (18%) | 14 (2%) | 7 (1%) | 5 (1%) | 578 | 0.3 |
Cat 9 | 89 (62%) | 43 (30%) | 5 (3%) | 4 (3%) | 3 (2%) | 144 | 0.53 |
Cat 10 | 72 (64%) | 32 (28%) | 7 (6%) | 0 (0%) | 2 (2%) | 113 | 0.48 |
Totale | 608 (73%) | 180 (22%) | 26 (3%) | 11 (1%) | 10 (1%) | 835 | 0.37 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
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