Pièces magnétiques

Identification

Rallye: 24.I.13 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPD, AL
Familles:

• AG - Traiter des sommes d'argent
• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

Remarque et suggestion

Résumé

À partir de trois compositions différentes obtenues en utilisant un certain nombre de pièces de trois formes différentes et en connaissant le prix en euro de chacune des compositions, déterminer le coût d’une quatrième composition réalisée en utilisant seulement deux des trois types de pièces (ce qui revient à résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer les trois pièces en distinguant les deux types de triangles : un triangle rectangle isocèle, moitié d'un carré du quadrillage ; un triangle isocèle avec une base coïncidant avec un côté du quadrillage ; un secteur circulaire correspondant à un quart de cercle avec un rayon égal au côté du quadrillage.

- Comprendre qu'il est nécessaire d'examiner les figures pour déterminer combien de pièces de chaque type sont utilisées. Remarquer qu’il est nécessaire d’utiliser deux pièces « triangle rectangle isocèle » pour obtenir les éléments carrés des figures. Reconnaître ainsi, par exemple, que la tête de la fillette est formée avec deux pièces en triangle isocèle (les tresses), deux pièces d’un quart de cercle, et quatre pièces en forme de triangle rectangle isocèle (le rectangle de deux carrés).

- Décrire les images en fonction du nombre et du type de pièces utilisées :

• FILLETTE : 22 pièces « triangle rectangle isocèle », 6 pièces « quart de disque » et 4 pièces « triangle isocèle »
• CHAT : 14 pièces « triangle rectangle isocèle », 1 pièce « quart de disque »
• FUSEE : 22 pièces « triangle rectangle isocèle », 2 pièces « quart de disque » et 4 pièces « triangle isocèle »
• HIRONDELLE : 6 pièces « triangle rectangle isocèle » et 3 pièces « triangle isocèle ».

- Se rendre compte que la différence de prix des compositions dépend du nombre et du type de pièces utilisées dans chacune, et que par conséquent il est nécessaire de passer à une comparaison entre les figures. Comprendre que la figure de la fillette diffère de celle de la fusée de 4 pièces « quart de disque » et trouver ensuite que le coût d'une pièce de ce type est de 0,80 € [(18,20 - 15,00): 4]. De l'information sur la figure du chat, tirer en conséquence que le coût d'une pièce “triangle rectangle isocèle” est de 0,50 € [(7,80 - 0,80): 14].

- Pour trouver le coût pour l’hirondelle, il faut encore déterminer le prix d'une pièce « triangle isocèle ». Cette dernière valeur peut être déduite des informations sur la fillette, ou celles de la fusée, par la différence entre le coût total et celui des pièces, « triangle rectangle isocèle » et « quart de cercle », dont on a déjà trouvé le coût. Le résultat est qu’une pièce « triangle isocèle » coûte 0,60 € (par exemple, en se basant sur la fillette, le calcul est donné par: [18,20 - (11 + 4,80): 4] = 0,60).

- Déduire enfin que le coût des pièces pour l'hirondelle est de 4,80 € [6 × 0,50 + 3 × 0,60].

Ou remarquer que le chat n’est constitué que de deux sortes de pièces, 14 pièces « triangle rectangle isocèle » et 1 seul « quart de disque ». Le coût étant de 7,80 €, imaginer que chaque pièce « triangle rectangle isocèle » coûte 0,50 € et que l’autre coûte 0,80 € (lien fort entre 7 et 14). Vérifier ensuite que, à partir de ces données, un même prix est trouvé pour la pièce « triangle isocèle » pour la fillette et la fusée : 0,60 €. Calculer ensuite le coût de l’hirondelle : 4,80 €.

Ou, considérant que le triangle rectangle est la moitié d’un carré; et que la figure du chat est composé de 7 carrés, émettre l’hypothèse qu’un carré coûte 1 euro et que le quart de disque coûte 0,80 euro. Vérifier l’hypothèse sur la figure de la fillette composée de 11 carrés, 6 quarts de disque et 4 triangles isocèles. De (18,20 - 1580) : 4 = 0,60 on tire le coût d’un triangle isocèle. Une dernière vérification sur la figure de la fusée confirmera l’hypothèse et permet de calculer le prix de la figure de l’hirondelle.

Ou résoudre le système d’équations :

  (1)  6q + 22tr + 4ti = 18,20
  (2) 1q + 14 tr = 7,80
  (3) 2q + 22tr + 4ti = 15

qui a pour solution q = 0,80€, tr = 0,50€ et ti = 0,60€. Calculer ensuite le prix des pièces de l’hirondelle qui est de 4,80 €.

Notions mathématiques

nombre décimal, forme géométrique, comptage, système d'équation

Résultats

24e rallye

Points attribués, sur 2810 classes de 15 sections:

Selon les critères suivants :

• 4 points: Réponse correcte (4,80 €) avec une explication complète (inventaire des pièces de chaque figure, description des étapes, avec calculs successifs des valeurs des différentes pièces)
• 3 points: Réponse correcte sans explication
  ou procédure correcte mais avec une erreur de calcul soit dans le comptage des pièces, soit dans l’exécution d’une opération avec des nombres décimaux
• 2 points: Procédure correcte mais avec plus d’une erreur de calcul dans le comptage des pièces et/ou dans l’exécution d’une opération avec des nombres décimaux
  ou le nombre de pièces de chaque type est déterminé correctement pour chacune des figures et la procédure de calcul est bien commencée, mais pas terminée
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple, détermination correcte du nombre de pièces de chaque type pour au moins deux des quatre figures)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Un des obstacles est évidemment la dépendance des questions successives : si l’on n’a pas pu déterminer le nombre de pièces de chaque figure, on aboutit à un système d’équations trop difficile à résoudre.

Puis une réponse erronée pour la première valeur (quart de disque) entraîne une succession d’erreur et l’apparition de nombres de plusieurs chiffres après la virgule ou non décimaux, …

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