Banca di problemi del RMT
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Trovare le coordinate del punto d’intersezione di due rette passanti ciascuna per due punti assegnati; i quattro punti si trovano su un foglio quadrettato; l’intersezione si trova fuori dal foglio.
- Osservare che la retta AB, a partire da A, si innalza di 3 quadretti per uno spostamento orizzontale verso destra di 5 quadretti e che la retta CD, a partire da C, si innalza di 5 quadretti per uno spostamento orizzontale di 7 quadretti. Osservare inoltre che fra A e C c’è uno scarto di 8 quadretti.
- A partire da queste informazioni, disegnare le rette su un foglio quadrettato più grande o prolungarle su altri fogli e constatare che questa procedura esige una grande precisione per arrivare a trovare le “coordinate” del punto di intersezione, per esempio segnando progressivamente tutti i punti della retta (AB) che sono sulle intersezioni della quadrettatura (di 5 in 5 secondo le ascisse) e verificandone i punti corrispondenti della retta (CD) della stessa ascissa.
Oppure: per via aritmetica, calcolare che per uno spostamento verso destra di 35 quadretti (mcm di 5 e 7), la retta (AB) “sale” di 21 quadretti (7 x 3) e la retta (CD) “sale” di 25 quadretti (5 x 5) quindi che le due rette si sono “avvicinate” di 4 quadretti (25 - 21).
- Osservare allora che bisogna dunque ancora spostarsi di 35 quadretti orizzontalmente verso destra affinché le rette si intersechino (poiché i punti A e C sono distanti di 8 quadretti). Il punto di intersezione è quindi a 70 quadretti a “destra” di C e 50 quadretti più “in alto” di C.
Oppure per via algebrica: determinare in un sistema di assi ortogonali, l’intersezione di due rette. Per esempio, con il punto C come origine le equazioni delle rette (CD) e (AB) sono: y = 5/7x et y = 3/5x + 8 la cui intersezione è (70; 50).
retta, quadrettatura, intersezione, coordinate
Su 1824 classi di 15 sezioni che anno partecipato alla primera prova del 24° RMT, sono stati attribuiti i seguenti punteggi :
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 654 (76%) | 153 (18%) | 38 (4%) | 9 (1%) | 12 (1%) | 866 | 0.35 |
| Cat 8 | 438 (68%) | 124 (19%) | 43 (7%) | 18 (3%) | 21 (3%) | 644 | 0.54 |
| Cat 9 | 98 (62%) | 39 (25%) | 10 (6%) | 4 (3%) | 6 (4%) | 157 | 0.61 |
| Cat 10 | 82 (52%) | 34 (22%) | 3 (2%) | 12 (8%) | 26 (17%) | 157 | 1.15 |
| Totale | 1272 (70%) | 350 (19%) | 94 (5%) | 43 (2%) | 65 (4%) | 1824 | 0.51 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
Sono state osservate tre principali strategie di risoluzione.
1) Grafica- È decisamente la strategia più utilizzata. Consiste nel rappresentare attraverso un disegno, su un foglio quadrettato (unendo più fogli) il punto di intersezione delle due rette.
La strategia funziona se vengono disegnati progressivamente i punti delle rette che si trovavano sulle intersezioni della quadrettatura del foglio e quindi riconosciuta (anche se non esplicitata) un’idea di pendenza costante.
La strategia non funziona se il disegno non è preciso in quanto non viene riconosciuto il passaggio per alcuni punti della quadrettatura; dovendo assemblare più fogli le quadrettature possono non essere bene allineate. E’ difficoltoso contare i quadretti di spostamento laterale e verticale. È facile ottenere un risultato lontano da quello corretto e pertanto classificato con 0 punti.
2) Aritmetica. Consiste nel valutare dal disegno la distanza tra i punti A e C e vedere come, spostandosi verso destra, essa tenda a diminuire.
La strategia funziona se si trova il mcm fra 5 e 7 e si osserva che dopo 35 quadretti da C le due rette si sono avvicinate di 4 quadretti e pertanto, raddoppiando, le due rette si incontrano. Si possono usare anche le frazioni e calcolare l’avvicinamento per ogni quadretto (strategia non prevista in analisi e non riconosciuta come corretta dai correttori).
La strategia non funziona se il ragionamento è lo stesso ma vengono prese misure (in centimetri o quadretti) direttamente dal disegno, a causa delle necessarie approssimazioni. Una variante non prevista dall’analisi del compito è stata quella di misurare gli angoli formati da ciascuna retta con l’orizzontale. Anche in questo caso il calcolo si allontana troppo dal risultato corretto per le approssimazioni effettuate.
3) Algebrica. È una strategia poco utilizzata e solo nella cat. 10, per quanto riguarda gli elaborati analizzati.
La strategia funziona se il riferimento cartesiano è scelto in modo opportuno. La difficoltà è nell’impostazione del sistema, non nella sua risoluzione.
La strategia non funziona se il riferimento cartesiano non è scelto in modo opportuno, in particolare con l’origine nel punto in basso a sinistra della griglia, che non appartiene alla retta CD.
Sono state formulate le seguenti osservazioni sul testo, a partire dalla griglia dei criteri di elaborazione dei problemi del RMT:
1) Ci sono molte informazioni che si devono dedurre dal disegno: il disegno non è di supporto al testo ma lo sostituisce
2) Non è facile stabilire quali punti delle due rette coincidono con vertici della quadrettatura; in particolare il punto della griglia nell’angolo in basso a sinistra sembra appartenere alla retta CD
Sono infine state formulate le seguenti osservazioni di carattere linguistico:
1) Ambiguità fra “retta” e “segmento”, non sembra però costituire un ostacolo negli elaborati in lingua italiana.
2) Ambiguità nella domanda: “di quanti quadretti ci si deve spostare verso destra e di quanti l’alto”: la presenza della congiunzione “e” porta, soprattutto negli elaborati di lingua francese, a dare come risposta la somma delle due misure richieste
3) Difficoltà di spiegare quanto fatto nella strategia 2) con uso improprio della parola “distanza”: la distanza fra i punti A e C o tra altre coppie di punti posti sulla stessa verticale viene chiamata “distanza” (con le virgolette), “distanza delle ordinate”, “differenza”.
Il problema è molto interessante perché costituisce un raro esempio di problema sulla retta nel piano cartesiano in cui il riferimento non è dato ma deve essere scelto dall’allievo in modo opportuno. È quindi un’occasione per riflettere sulla scelta del sistema di riferimento e su come tale scelta possa condizionare la risoluzione, portando a semplificazioni o al contrario complicazioni nei calcoli.
Inoltre il problema porta a ragionare sul significato di “pendenza” di una retta, a partire dalla posizione di due punti. L’attenzione è focalizzata sulla posizione relativa di un punto rispetto all’altro più che sulle coordinate dei punti stessi.
Infine, come evidenziato nelle osservazioni di carattere linguistico, il problema consente una riflessione sul concetto di distanza, permettendo di delineare la differenza tra distanza fra due punti, fra un punto e una retta, fra due rette parallele.
Il problema rientra nella classe di problemi basati sulla lettura di un grafico. Tale strumento viene spesso considerato alla portata degli allievi, ma non sempre è gestito correttamente e l’esperienza del gruppo di lavoro “Funzioni” mostra che non viene spontaneamente scelto se sono disponibili altre strategie. Il problema, insieme ad altri della stessa tipologia, può favorire l’acquisizione di strumenti di analisi del grafico che possano mettere gli allievi in grado di utilizzarlo in modo più proficuo e di non cadere nei “tranelli” di una osservazione superficiale.
(c) ARMT, 2016-2024