La porcherie

Identification

Rallye: 24.II.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CP - Utiliser des cartes et des plans
• CP/CO - Colorier des cartes
• LG - Déterminer un lieu géométrique

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Résumé

Déterminer le lieu géométrique des points à l’intérieur d’une courbe fermée qui sont à une distance supérieure à une distance indiquée de 7 points donnés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse de la tâche a priori

- Comprendre qu’il faut colorier la partie du territoire de la commune dont les points sont situés pour toutes les fermes à une distance plus grande que la longueur du segment donné.

- Après quelques essais éventuels point par point, passer au cas général pour un des sept points : le lieu géométrique (ou l’ensemble des points) situés à l’extérieur d’un cercle de 500 m de rayon et tracer le cercle dont le rayon est pris sur le segment donné « 500 m ».

- Reprendre la construction pour les autres points (maison) tracer les six autres cercles de rayon donné, centrés sur les six autres maisons.

- Colorier les parties du territoire de la commune qui sont à l’extérieur de tous ces cercles. Cela donne le dessin suivant, composé de quatre zones.

Notions mathématiques

géométrie, distance, point, disque, cercle, lieu géométrique, courbe fermée

Résultats

24.II.11

Points attribués, sur 2903 classes de 14 sections

Selon les critères d’attribution des points suivants:

• 4 points: Réponse correcte (les quatre zones correctement déterminées) avec des explications complètes (dessin précis des cercles qui montrent la maîtrise du compas et justification claire du recours à des telles figures géométriques)
• 3 points: Réponse correcte avec sur le dessin des traces de construction qui délimitent les 4 zones de manière imprécise, mais avec des explications complètes
  ou les 4 zones correctement dessinées mais avec des explications incomplètes ou imprécises
• 2 points: Réponse avec sur le dessin des traces, qui permettent de délimiter 3 zones cohérentes avec la question, avec des explications
  ou trois zones coloriées correctement, mais sans explication
  ou procédure seulement donnée par écrit mais non réalisée
  ou au moins 4 points (un dans chaque zone), découverts par essais et mesures directes
• 1 point: Réponse inachevée avec l’utilisation du compas pour au moins une maison
  ou au moins 2 points en différentes zones, déterminés au moyen de diverses tentatives et de mesures directes
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les observations qui suivent sont faites à partir de l’analyse a posteriori de 151 copies de Suisse romande (de 48, 57 et 46 classes de catégories respectives 6, 7, et 8).

Les critères 3 et 4 d’attribution des points n’étaient pas très précis et on provoqué des écarts sensibles d’une section à l’autre. Pour des raisons de précision du dessin plusieurs groupes ont trouvé un petit espace libre entre les quatre maisons de gauche.

Une grande majorité des groupe ont dessiné « naturellement » les 7 disques définissant les quatre zones, avec une progression sensible de la catégorie 6 à la catégorie 8.

L’erreur la plus fréquent est de considérer les points d’intersection des cercles comme les endroits privilégiés où l’on peut construire la porcherie. La prégnance des cercles dessinés fait que le problème est alors considéré dans cet espace discret de leurs intersections alors que c’est le disque, et son extérieur, qui détermine les zones.

Une erreur est de considérer à la fois les cercles et les disques : le zone sont coloriées mais les points d’intersection sont notés aussi comme emplacements possibles.

Plusieurs copies présentent le coloriage exact, mais sans explication.

On relève encore quelques copies où les zones ne sont pas coloriées mais à l’intérieur desquelles sont dessinés un grand nombre de points possibles.

On ne trouve pas « d’incompréhensions » du problème qui se répètent dans les copies examinées.

Exploitations didactiques

Le problème pourrait être repris sous une forme un peu plus « consistante » en disposant les points de manière à laisser une ou deux zones à l’intérieur de la courbe fermée définissant le territoire de la commune.