Banca di problemi del RMT
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Trovare le coppie di numeri naturali tali che la differenza dei loro quadrati sia 75, in un contesto di terreni quadrati.
- Rappresentarsi i due quadrati sapendo solamente che il secondo è “una parte del primo”, cioè che uno è “interamente” contenuto nel secondo (lati paralleli o no). Superata l’incertezza delle relative posizioni, capire che occorre fare riferimento alle aree non ancora note di due quadrati e ai 75 m2 della superficie che resta.
- Passare alle relazioni aritmetiche fra queste tre aree e riformulare il problema per la ricerca di due numeri la cui differenza sia 75
- Prendere in conto la formula dell’area del quadrato e l’esigenza di misure intere dei lati per restringere il problema nell’insieme dei numeri naturali alla ricerca di due numeri quadrati la cui differenza sia 75.
- Si può procedere per via aritmetica per tentativi organizzati, per esempio a partire da aree successive del quadrato piccolo 1, 4, 9, 16, 25, calcolare le aree corrispondenti del grande che valgono 75 di più e verificare se possono essere aree di un quadrato: (1 ;76), (4 ; 79), (9 ; 84), (16 ; 91) , (25 ; 100) oppure 52 = 25 ; 100 = 102 ), non fermarsi alla prima soluzione, ma continuare ...(81 ; 156), (100 ; 175), (112 = 121 ; 196 = 142 ), ... (372 = 1369 ; 1444 = 382 ). Constatare che bisogna fermarsi lì perché la differenza fra due quadrati successivi di numeri maggiori di 38 sarà maggiore di 75.
La procedura per tentativi comporta una ricerca progressiva e un controllo sistematico di ciascuna coppia individuata mediante l’uso della calcolatrice, ma anche la percezione della progressione della differenza fra due quadrati successivi (molto probabilmente la soluzione 37 e 38 non comparirà con questo procedimento né si andrà oltre con i controlli).
- La procedura algebrica consiste nel risolvere l’equazione x2 − y2 = 75, successivamente nel trasformarla in (x-y)(x+y)=75 e trovare le tre coppie (di divisori di75) il cui prodotto è 75: 1×75 ; 3×25 e 5×15. Si determinano così le soluzioni 37 e 38; 11 e 14; 5 e 10. (Come ben sappiamo dispongono di questa procedura solo gli insegnanti oppure gli allievi che hanno familiarità con le equazioni, con i prodotti notevoli, con la fattorizzazione, ...)
- Una procedura può anche essere presa in considerazione a partire da considerazioni geometriche sul quadrato piccolo (di lato a) e sul grande (di lato a + b) le cui aree sono rispettivamente a2 e (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 e la cui differenza è rappresentata da un quadrato b2 e due rettangoli ab. Questa differenza 2ab + b2 si può scrivere b(2a + b) = 75 per fattorizzazione. Se ne ricavano i tre valori di b (divisori di 75): 1, 3 e 5, che danno i tre valori positivi di a: 37, 11 e 5 e i tre valori corrispondenti di a + b: 38, 14 e 10, che danno le misure dei due quadrati: (38 e 37 m; 14 e 11 m, 10 e 5 m).
Su 1737 classi di 14 sezioni che anno partecipato alla primera prova del 24° RMT, sono stati attribuiti i seguenti punteggi :
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 303 (37%) | 475 (58%) | 27 (3%) | 11 (1%) | 6 (1%) | 822 | 0.71 |
| Cat 8 | 143 (24%) | 377 (63%) | 28 (5%) | 38 (6%) | 13 (2%) | 599 | 1 |
| Cat 9 | 39 (25%) | 105 (66%) | 6 (4%) | 7 (4%) | 1 (1%) | 158 | 0.9 |
| Cat 10 | 33 (21%) | 97 (61%) | 9 (6%) | 11 (7%) | 8 (5%) | 158 | 1.14 |
| Totale | 518 (30%) | 1054 (61%) | 70 (4%) | 67 (4%) | 28 (2%) | 1737 | 0.87 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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