Un rectangle en morceaux

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Rallye: 24.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, AL, GM
Famille:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

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Résumé

Sur un rectangle sont posées six pièces identiques en forme de L dont deux dimensions sont données. Déterminer les dimensions et l'aire de la partie du rectangle non recouverte.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse de la tâche a priori

- Comprendre de l’observation ou par un découpage analogue à celui de la figure, que le côté FI doit mesurer 5 cm, sinon on ne pourrait pas disposer ainsi les 6 pièces du rectangle comme sur le dessin.

- Observer qu’on peut trouver la longueur AM du côté vertical de ce rectangle : en regardant les deux pièces en forme de L juxtaposés en bas de la figure, on constate que FI = 5 cm, d’où AH = 10 cm et on en déduit que ce côté mesure : 10 + 10 + 5 = 25 cm.

- Se rendre compte que sur le côté horizontal [AD], seulement les deux longueurs de 4 cm sont connues. La longueur EF reste inconnue. Notons l cette mesure en cm.

- Observer qu’on peut exprimer cette mesure de deux manières différentes : d’une part en haut, AD se décompose en deux longueurs de 4 cm et deux longueurs EF, d’où une mesure de 4 + l + l + 4 ; d’autre part en bas, KL se décompose en quatre longueurs de 4 cm et une longueur égale à EF, d’où une mesure de 4 + 4 + l + 4 + 4.

- Les deux expressions sont égales et on trouve que l = 8 cm. Ainsi le côté horizontal mesure 24 cm.

- Ou bien, Essayer de dessiner des pièces plus grandes de formes identiques et s’apercevoir qu’il y a une seule possibilité car les longueurs de [AB] et de [EB] sont fixées : la longueur l doit être le double de la longueur du côté AB.

- Pour trouver l’aire de la partie du rectangle non recouverte par les six pièces, considérer qu’elle est la somme des aires du rectangle BCGE et des deux rectangles blancs KMSR et LNPQ : d’après les longueurs trouvées, cela donne 5 x 16 + 2 x 5 x 4 cm2 , soit 120 cm2.

- Ou bien, observer qu’elle correspond à la différence entre l’aire du rectangle entier : 24 x 25 = 600 cm2 et l’aire des six pièces. L’aire de chaque pièce mesure : (4 x 5) + (5 x 12) = 80 cm2. Les six pièces ont donc une aire de 80 x 6 = 480 cm2. L’aire de la partie blanche mesure donc : 600 – 480 = 120 cm2.

Notions mathématiques

aire, longueur, isométrie, rectangle, équation

Résultats

24.II.15

Points attribués, sur 1071 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (dimensions du rectangle : 24 et 25 cm, aire de la partie non utilisée : 120 cm2) avec la description claire et complète de la procédure et des calculs ou explication claire du fait que EF ne peut être que le double de AB = 4 cm
• 3 points: Les deux réponses correctes avec l’identification des segments de 4 cm et 5 cm sur la figure, mais avec une explication incomplète, ou seulement donnée par des calculs numériques sans explications géométriques ou seulement par des mesures prises sur le figure ou encore à « vue d’œil » (par exemple avec un pavage ou « quadrillage » de la figure par des rectangles de 4 sur 5)
• 2 points: Réponses correctes sans explication 
  ou des erreurs de calcul dans une seule réponse, et l’autre correcte mais avec des explications incomplètes ;
  ou des réponses erronées parce qu’on a utilisé la dimension de 12 cm ou 20 cm au lieu de 24 cm
• 1 point: Début de recherche cohérente qui montre la compréhension du problème (par exemple, une relation entre les longueurs, l’affirmation que EF est double de 4 cm sans explication…)
• 0 point: Incompréhension du problème