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Un rettangolo in pezzi

Identificazione

Rally: 24.II.15 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: GP, AL, GM
Famiglia:

RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

Sunto

Di un rettangolo sul quale sono disposti 6 pezzi identici a forma di L, dei quali sono note due dimensioni, determinare le dimensioni e l’area della parte non ricoperta.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere dall’osservazione, o attraverso un ritaglio analogo a quello indicato in figura, che il lato FI deve misurare 5 cm, altrimenti non si potrebbero disporre i 6 pezzi del rettangolo così come sul disegno.

- Osservare che si può trovare la lunghezza AM del lato verticale del rettangolo: guardando i due pezzi a forma di L giustapposti in basso nella figura, si constata che FI = 5 cm, da cui AH = 10 cm e se ne deduce che questo lato misura: 10 + 10 + 5 = 25 cm.

- Rendersi conto che sul lato orizzontale AD si conoscono solo le due lunghezze di 4 cm, mentre resta sconosciuta la lunghezza EF. Indichiamo con l la sua misura in cm.

- Osservare che si può esprimere questa misura in due modi differenti: da una parte, in alto, AD di scompone in due lunghezze di 4 cm e in due lunghezze EF, da cui una misura di 4 + l + l + 4; dall’altra parte in basso, KL si scompone in quattro lunghezze di 4 cm e in una lunghezza uguale a EF, da cui si ha una misura di 4 + 4 + l + 4 + 4.

- Ricavare dall’uguaglianza delle due espressioni che l = 8 cm. Così il lato orizzontale misura 24 cm.

Oppure

- Cercare di disegnare pezzi più grandi di forme identiche e accorgersi che c’è una sola possibilità perché le lunghezze di AB e di EB sono fissate: la lunghezza l deve essere il doppio sia il doppio della lunghezza del lato AB.

- Per determinare l’area della parte del rettangolo non ricoperta dai sei pezzi, considerare che essa è la somma delle aree del rettangolo BCGE e dei due rettangoli bianchi KMSR e LNPQ: dopo aver trovato le lunghezze, ciò porta ad ottenere (5 x 16 + 2 x 5 x 4) cm², cioè 120 cm².

Oppure

- Osservare che essa corrisponde alla differenza tra l’area di tutto il rettangolo 24 x 25 = 600 cm² e l’area dei sei pezzi. L’area di ciascun pezzo è: (4 x 5) + (5 x 12) = 80 cm². I sei pezzi hanno quindi un’area di 80 x 6 = 480 cm². L’area della parte bianca è pertanto: 600 – 480 = 120 cm².

Risultati

24.II.15

Punteggi attribuiti su 1071 classi di 15 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 8	84 (11%)	82 (11%)	165 (22%)	228 (31%)	183 (25%)	742	2.46
Cat 9	11 (6%)	14 (8%)	41 (24%)	53 (31%)	51 (30%)	170	2.7
Cat 10	15 (9%)	16 (10%)	30 (19%)	53 (33%)	45 (28%)	159	2.61
Totale	110 (10%)	112 (10%)	236 (22%)	334 (31%)	279 (26%)	1071	2.52
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4 punti: Risposte corrette (dimensioni del rettangolo: 24 e 25 cm, area del rettangolo non utilizzata: 120 cm2) con la descrizione chiara del procedimento e dei calcoli oppure spiegazione chiara del fatto che EF non può che essere il doppio di AB = 4 cm
3 punti: Risposte corrette con l’identificazione dei segmenti di 4 o 5 cm sulla figura, ma con spiegazione incompleta, o data solo con calcoli numerici senza spiegazioni geometriche
2 punti: Risposte corrette senza spiegazioni
oppure errori di calcolo in una sola risposta e l’altra corretta ma con spiegazioni incomplete
oppure risposte errate perché si utilizza la dimensione di 12 cm o di 20 cm anziché di 24 cm.
1 punto: Inizio di ricerca coerente che mostra la comprensione del problema (per esempio, una relazione tra le lunghezze, l’affermazione che EF è il doppio di 4 cm senza spiegazione...)
0 punto: Incomprensione del problema