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Triangoli sconosciuti

Identificazione

Rally: 24.F.16 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

Sunto

Determinare le possibili lunghezze, espresse da numeri naturali, dei tre lati di triangoli di cui è noto il perimetro e la differenza tra le misure dei due lati maggiori.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Immaginare le dimensioni di alcuni triangoli soddisfacenti alle tre condizioni. Rendersi conto che, dal punto di vista numerico, si tratta di trovare tre numeri naturali la cui somma è 36 e per i quali la differenza tra i due maggiori è 6.

- Rendersi conto che non ci sono molte soluzioni e, di conseguenza, che si può facilmente fare un inventario secondo numerose procedure. Dal punto di vista aritmetico, ci sono cinque terne possibili verificanti le tre condizioni:

  (20, 14, 2), (19, 13, 4), (18, 12, 6), (17, 11, 8), (16, 10, 10).

- Nel contesto geometrico, immaginare i triangoli e domandarsi se tutte le «terne» precedentemente individuate corrispondono a triangoli «costruibili».

- Costruire quindi i triangoli e constatare che ci sono solo due terne che vanno bene: (17, 11, 8) e (16, 10, 10), mentre ci sono dubbi a proposito della terna (18, 12, 6).

- Notare che il triangolo corrispondente alla terna (18, 12, 6) sembra di fatto costruibile con riga e compasso, ma che tale triangolo è degenere («quasi piatto»). Poi ragionare sul fatto che la misura della lunghezza del lato più lungo (18) è la somma delle misure degli altri due lati e superare l’illusione visiva della possibile costruzione effettiva (dovuta agli spessori delle linee o ai limiti di precisione delle misure dei lati) per dedurne che i tre vertici sono allineati e che non si tratta di un triangolo vero e proprio.

Oppure: a partire dalle cinque terne, individuare le due terne che permettono di costruire i triangoli senza passare alla effettiva costruzione, ma ricordando la disuguaglianza triangolare.

Risultati

24.F.16

Punteggi attribuiti su 173 classi di 16 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 7	10 (15%)	41 (62%)	8 (12%)	2 (3%)	5 (8%)	66	1.26
Cat 8	4 (7%)	36 (62%)	7 (12%)	7 (12%)	4 (7%)	58	1.5
Cat 9	3 (11%)	14 (50%)	6 (21%)	1 (4%)	4 (14%)	28	1.61
Cat 10	1 (5%)	15 (71%)	0 (0%)	1 (5%)	4 (19%)	21	1.62
Totale	18 (10%)	106 (61%)	21 (12%)	11 (6%)	17 (10%)	173	1.44
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4: Risposta corretta («due triangoli»), con l’individuazione delle due terne (17, 11, 8) e (16, 10, 10) o i disegni con l’indicazione delle le misure dei lati, e una giustificazione per l’esclusione delle altre tre terne (esplicitazione della disuguaglianza triangolare o anche solo una frase del tipo «non si può costruire il triangolo», eventualmente anche citando il triangolo degenere)
3: Risposta corretta, con l’individuazione delle due terne o i disegni dei triangoli con l’indicazione delle misure dei lati senza alcun commento sul fatto che non ci sono altre soluzioni
2: Una sola terna o il disegno di un triangolo con l’indicazione delle misure dei lati a partire da quattro terne in cui non compare l’altra soluzione
oppure risposta «tre triangoli» o «la risposta corretta è tre», con le terne o i disegni delle tre soluzioni (si accetta il triangolo degenere di lati (18, 12, 6) se è effettivamente costruito)
1: Risposta «cinque triangoli» o «la risposta corretta è 5», con l’elenco delle cinque terne: (20, 14, 2), (19, 13, 4), (18, 12, 6), (17, 11, 8), (16, 10, 10)
oppure errore a livello aritmetico sulle cinque terne (dimenticanza o doppioni o triplette errate) e riconoscimento dei triangoli effettivamente costruibili
0: Risposta corretta, senza le terne né disegni
oppure incomprensione del teorema