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Identificazione

Rally: 25.I.19 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GP
Famiglie:

• ANG - Utilizzare angoli e/o misure di angoli
• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• IF - Identificare figure
• IF/INV - Fare un inventario

Remarque et suggestion

Sunto

Identificare i triangoli formati dalle diagonali e dai lati di un pentagono regolare poi classificarli in famiglie di triangoli simili.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Capire che per trovare le famiglie di triangoli simili è necessario identificare i numerosi triangoli formati dalle diagonali del pentagono e rendersi conto della necessità di trovare un criterio per l’identificazione di tali triangoli. Ad esempio notare che ci sono triangoli “semplici” e altri formati da più triangoli. Si possono in tal modo contare:

- A questo punto, per trovare il numero di famiglie di triangoli simili, è necessario passare alla ricerca delle misure degli angoli dei triangoli. Ci sono numerosi modi di trovare tali misure.

Per esempio, se non è nota la misura della somma degli angoli interni di un pentagono, si può osservare che il pentagono si può scomporre in tre triangoli e che quindi la misura della somma degli angoli interni al pentagono è 180 × 3 = 540. Poiché il pentagono è regolare la misura di ogni suo angolo è 108 = 540 : 5. Considerando poi uno dei triangoli isosceli (di tipo 4) aventi come lati uguali due lati del pentagono e come base una diagonale, si trovano facilmente le ampiezze degli angoli adiacenti alla base: (180°– 108°):2=36°; dunque i tre angoli consecutivi di vertice A: BAC e DAE, misurano entrambi 36°, e CAD, l'angolo della “punta” della stella, misura (108°– 36°×2)=36°. Si possono così determinare tutti gli angoli della figura. Per esempio, i triangoli di tipo 2, 4 e 5 hanno due angoli di 36° e un angolo di 108°. I triangoli di tipo 1, 2 e 6 hanno un angolo di 36° e due angoli di 72°.

Oppure:

- Confrontare, per esempio, un triangolo di tipo 4 e uno di tipo 6, indicando con o la misura dell’angolo di minor ampiezza del triangolo di tipo 4 e con a quella di minore ampiezza di uno di tipo 6, si ottengono le equazioni 4o + a = 180° e 2o + 3a = 180° dalle quali si deduce o = a e 5o = 5a = 180° e infine o = a = 36°. Si trovano poi le misure dell’ampiezza degli altri due angoli: 72°, ecc.

- Infine, visto che tutti i triangoli che si individuano nella figura hanno angoli alla base congruenti, dedurre che si tratta di triangoli isosceli di due diverse famiglie:

• triangoli con angoli alla base di 36° e angolo al vertice di 108°;
• triangoli con angoli al vertice di 36° e angoli alla base di 72°.

(Nel caso si utilizzi un goniometro, lo strumenti non permetterà verosimilmente di dare i valori esatti delle misure degli angoli)

Risultati

25.I.19

Punteggi attribuiti su 342 classi di 9 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (due tipi di triangoli simili) con descrizione completa che permette di giustificare la risposta: determinazione di tutti gli angoli e ripartizione di tutti i tipi di triangoli in due famiglie: 36, 72, 72 per i tre tipi di triangoli acuti e 36, 36, 108 per i due (o tre) tipi di angoli ottusi
• 3 punti: Risposta corretta con descrizione incompleta: per esempio, i cinque o sei tipi di triangoli non sono stati identificati, il dettaglio della determinazione degli angoli non è menzionato, la misura degli angoli presa con il goniometro è approssimativa
• 2 punti: Risposta corretta con solamente un disegno o una descrizione di un rappresentante per famiglia
• 1 punto: Risposta corretta senza alcuna spiegazione
  oppure risposta errata (un tipo o tre tipi) con menzione degli angoli di almeno un tipo
  oppure risposta errata dovuta a calcoli o misure imprecise degli angoli
• 0 punto: Risposta errata: 7 che corrisponde ai tipi di triangoli congruenti fra loro
  oppure incomprensione del problema

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