Il tavolo triangolare

Identificazione

Rally: 25.II.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• LA/UA - Gestire unità d’area
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

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Sunto

Calcolare l’area di tre esagoni regolari congruenti costruiti su tre lati di un esagono regolare, d’area 4158 cm², i quattro esagoni sono iscritti in un triangolo equilatero.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Rendersi conto che i tre triangoli piccoli che hanno un lato coincidente con un lato dell’esagono sono equilateri e uguali (ad esempio, osservare che ciascuno di loro ha tre angoli uguali: i lati dell’esagono regolare sono paralleli ai lati del triangolo grande e di conseguenza gli angoli di un triangolo piccolo sono uguali a quelli del triangolo grande che è equilatero; oppure si può anche considerarli come supplementari agli angoli degli esagoni regolari che sono di 120° ciascuno) .

- Il lato dell’esagono grande è quindi 1/3 del lato del triangolo grande.

- Il triangolo grande si può dividere in 9 triangoli equilateri uguali (6 formati a partire dal centro dell’esagono e 3 nella parte rimanente).

- Conoscendo l’area dell’esagono, è possibile quindi calcolare l’area di uno di questi triangoli: 4158 : 6 = 693 (in cm2).

Analogamente ciascuno di questi triangoli si può scomporre in 9 triangoli piccoli dei quali 6 formano l’esagono più piccolo: 693 : 9 = 77 (in cm2).

L’area di un esagono piccolo è quindi 77 × 6 = 462 (in cm2). Quella complessiva dei tre esagoni piccoli è quindi: 462 × 3= 1386 (in cm2).

Oppure,

- osservare che ciascuno dei 9 triangoli può essere considerato composto da altri 9 triangoli piccoli, uguali tra loro. Quindi la superficie dell’esagono è formata da 54 triangoli piccoli di area 4158 : 54 = 77 (in cm2). L’esagono piccolo ha quindi area 77 × 6 = 462 (in cm2). I tre esagoni, complessivamente, hanno allora area 462 × 3= 1386 (in cm2).

Oppure,

- rendersi conto che si possono inserire 7 esagoni nell’esagono grande e che restano 12 triangoli equilateri piccoli che possono formare ancora due esagoni. L’area dell’esagono grande è quindi uguale a quella di 9 esagoni piccoli, questo implica che un esagono piccolo ha un’area di 462 cm² (4158/9). Resta da moltiplicare questo numero per 3 per ottenere la risposta.

Oppure,

- considerare che, essendo il lato di ciascun esagono piccolo pari a 1/3 di quello dell’esagono grande, l’area di ogni esagono piccolo sarà 1/9 di quella dell’esagono grande, cioè 1/9 di 4158 (in cm2) e dunque 462 (in cm2). I tre esagoni, complessivamente, avranno area 462 × 3= 1386 (in cm2).

Oppure,

- è possibile trovare il risultato esatto (1386 cm2) a partire dalla formula dell’area dell’esagono che fa intervenire dei radicali, che possono però condurre a risultati approssimati (per es. 1385 cm2) se vengono sostituiti con numeri decimali.

Risultati

25.II.14

Punteggi attribuiti su 2266 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (1386 cm2) con spiegazioni chiare e complete della procedura seguita
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni parziali (per esempio, non si precisa che i triangoli sono equilateri e uguali)
  oppure risposta 1385 cm2 per l’approssimazione nei calcoli, con spiegazioni chiare e complete della procedura seguita
  oppure risposta 462 cm2 (calcolo dell’area di un solo esagono piccolo) con spiegazioni chiare e complete
• 2 punti: Procedimento corretto con errori di calcolo ma con spiegazioni chiare e complete
  oppure risposta 461 cm2 (area di un solo esagono piccolo) per l’approssimazione nei calcoli, con spiegazioni chiare e complete
  oppure risposta corretta senza spiegazioni
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente (ad esempio, divisione dell’esagono in 6 triangoli equilateri uguali e calcolo della loro area)
  oppure risposta ottenuta utilizzando delle misure per trovare che il lato dell’esagono grande è un terzo del lato del triangolo grande
• 0 punto: Incomprensione del problema