Banca di problemi del RMT
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Calcolare l’area di tre esagoni regolari congruenti costruiti su tre lati di un esagono regolare, d’area 4158 cm2, i quattro esagoni sono iscritti in un triangolo equilatero.
- Rendersi conto che i tre triangoli piccoli che hanno un lato coincidente con un lato dell’esagono sono equilateri e uguali (ad esempio, osservare che ciascuno di loro ha tre angoli uguali: i lati dell’esagono regolare sono paralleli ai lati del triangolo grande e di conseguenza gli angoli di un triangolo piccolo sono uguali a quelli del triangolo grande che è equilatero; oppure si può anche considerarli come supplementari agli angoli degli esagoni regolari che sono di 120° ciascuno) .
- Il lato dell’esagono grande è quindi 1/3 del lato del triangolo grande.
- Il triangolo grande si può dividere in 9 triangoli equilateri uguali (6 formati a partire dal centro dell’esagono e 3 nella parte rimanente).
- Conoscendo l’area dell’esagono, è possibile quindi calcolare l’area di uno di questi triangoli: 4158 : 6 = 693 (in cm2).
Analogamente ciascuno di questi triangoli si può scomporre in 9 triangoli piccoli dei quali 6 formano l’esagono più piccolo: 693 : 9 = 77 (in cm2).
L’area di un esagono piccolo è quindi 77 × 6 = 462 (in cm2). Quella complessiva dei tre esagoni piccoli è quindi: 462 × 3= 1386 (in cm2).
Oppure,
- osservare che ciascuno dei 9 triangoli può essere considerato composto da altri 9 triangoli piccoli, uguali tra loro. Quindi la superficie dell’esagono è formata da 54 triangoli piccoli di area 4158 : 54 = 77 (in cm2). L’esagono piccolo ha quindi area 77 × 6 = 462 (in cm2). I tre esagoni, complessivamente, hanno allora area 462 × 3= 1386 (in cm2).
Oppure,
- rendersi conto che si possono inserire 7 esagoni nell’esagono grande e che restano 12 triangoli equilateri piccoli che possono formare ancora due esagoni. L’area dell’esagono grande è quindi uguale a quella di 9 esagoni piccoli, questo implica che un esagono piccolo ha un’area di 462 cm² (4158/9). Resta da moltiplicare questo numero per 3 per ottenere la risposta.
Oppure,
- considerare che, essendo il lato di ciascun esagono piccolo pari a 1/3 di quello dell’esagono grande, l’area di ogni esagono piccolo sarà 1/9 di quella dell’esagono grande, cioè 1/9 di 4158 (in cm2) e dunque 462 (in cm2). I tre esagoni, complessivamente, avranno area 462 × 3= 1386 (in cm2).
Oppure,
- è possibile trovare il risultato esatto (1386 cm2) a partire dalla formula dell’area dell’esagono che fa intervenire dei radicali, che possono però condurre a risultati approssimati (per es. 1385 cm2) se vengono sostituiti con numeri decimali.
Punteggi attribuiti su 2266 classi di 19 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 288 (26%) | 127 (12%) | 73 (7%) | 270 (25%) | 343 (31%) | 1101 | 2.23 |
| Cat 8 | 152 (19%) | 87 (11%) | 67 (8%) | 182 (23%) | 305 (38%) | 793 | 2.51 |
| Cat 9 | 33 (17%) | 17 (9%) | 9 (5%) | 34 (17%) | 104 (53%) | 197 | 2.81 |
| Cat 10 | 25 (14%) | 16 (9%) | 15 (9%) | 31 (18%) | 88 (50%) | 175 | 2.81 |
| Totale | 498 (22%) | 247 (11%) | 164 (7%) | 517 (23%) | 840 (37%) | 2266 | 2.42 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2017-2024