Le plus beau parallélogramme

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Rallye: 25.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Famille:

• COG - Effectuer une construction géométrique

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Résumé

Construire un parallélogramme dans un rectangle avec deux côtés opposés sur les côtés du rectangle, partageant deux sommets du rectangle, de telle manière qu'un autre sommet soit situé à la même distance des deux côtés opposés du parallélogramme.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre qu'il faut chercher la position P tels que les segments PH et PK ont la même longueur.

- Comprendre que, puisque PH = PK, les deux triangles APH et CPK sont égaux : en effet ils ont leurs angles et un côté qui sont égaux. Et donc PA = PC. Inversement PA = PC implique PH = PK.

- Procéder par essais : donner diverses valeurs à DP, calculer AP avec le Théorème de Pythagore, calculer PC comme différence DC - DP et confronter les valeurs obtenues pour AP et PC. Après plusieurs essais, trouver que, si DP = 1 m on a AP = PC = 2,6 m.

Ou bien:

- Procéder algébriquement : choisir une inconnue liée à la position P, par exemple, la mesure du segment DP et essayer d'écrire une équation.

Par exemple, poser DP = x et écrire l'équation qui traduit l’égalité AP = PC, c’est-à-dire $\sqrt{2.4^2 + x^2} = 3.6 -x$ qui a pour solution x = 1.

- Conclure que dans le parallélogramme cherché, la distance entre le sommet P et le sommet D du rectangle de 1 m.

Ou bien:

- Procéder géométriquement : comprendre que le parallélogramme, ayant les mêmes hauteurs (ou du fait de l’égalité des triangles APH et CPK), on a PC = PA et que le parallélogramme est donc un losange et rechercher une construction possible d’un losange ayant AC pour grande diagonale.

- Trouver le point M milieu de [AC] et tracer la ligne droite r perpendiculaire à AC en M. Le point P est l’intersection de la droite r et du côté CD.

Notions mathématiques

parallélogramme, sommet, équidistance

Résultats

25.F.19

Points attribués, sur 40 classes de 6 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (P à 1 m de D ou à 2,6 m de C) ou réponse équivalente ou construction géométrique du point P avec des explications claires et complètes (tentatives explicites, procédure algébrique ou géométrique)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications imprécises ou incomplètes ou vérification de la solution
• 2 points: Réponse correcte sans explication ni justification (la procédure par essais non justifiée et sans vérification ne constitue pas une justification)
  ou mauvaise réponse suite à une erreur dans la résolution de l'équation
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple, observation de l’égalité des triangles)
• 0 point: Incompréhension du problème