Jeux d'araignées (I)

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Rallye: 26.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

• INT - Chercher, dénombrer ou construire des intersections
• TOP - Gérer une situation topologique

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Résumé

Trouver le nombre maximum d’intersections de quatre cordes d’un cercle

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que les fils sont des segments de droite.

- Comprendre que le nombre des croisements dépend de la disposition des fils

- Procéder par essais inorganisés : tracer quatre fils et dénombrer les croisements. Il faut vérifier qu’il n’y a pas plus de deux fils sur un point d’intersection, ce qui ferait que ce croisement serait compté pour un seul au lieu de plusieurs.

Ou,

- procéder par essais plus ou moins organisés : tracer un fil puis un deuxième fil (qui peut déterminer 0 ou 1 croisement) puis un troisième fil qui peut croiser les deux premiers et déterminer 3 croisements, anticiper la position du quatrième de façon à obtenir le plus de croisements possibles avec les trois premiers.

- Compter les 6 croisements

Notions mathématiques

cercle, corde, intersection

Résultats

26.I.02

Points attribués, sur 1437 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : les trois aires ne sont pas égales A : 20,5 ; B : 21 et C : 21 (en carreaux du quadrillage). On accepte que l’inégalité ne soit pas mentionnée explicitement ; mais pour chacune des aires la description des calculs ou des comptages est nécessaire. (En cas de mesures en cm ou mm, l’inégalité ou l’égalité des aires doivent être accompagnées de calculs précis tenant compte explicitement des erreurs d’approximation.)
• 3 points: Réponse correcte, avec les trois aires trouvées, mais avec le détail des calculs seulement pour une ou deux d’entre elles
  ou aires correctes pour deux des aires et erreur sur la troisième, avec détail des calculs
  ou aires calculées d’après des mesures correctes au mm, sans mention explicite des erreurs dues aux approximations
• 2 points: Réponse correcte, avec les trois aires trouvées, sans le détail des calculs
  ou aire correcte pour une seule des trois aires, et une seule erreur pour chacune des deux autres, chaque fois avec le détail des calculs
  ou réponse correcte avec le calcul détaillé pour deux aires, mais le calcul de la troisième n’a pas été abordé ou contient des erreurs
  ou réponse erronée (les aires des trois polygones sont égales) due à des erreurs de calcul dans la détermination de l’aire de A, avec le détail des opérations
• 1 point: Seulement l’aire d’une ou deux des trois figures est trouvée, sans détails
  ou aires approximatives à partir de mesures prises sur les polygones qui composent les figures
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L'analyse a posteriori approfondie d'environ 350 copies de quatre sections a permis d'observer trois procédures principales:

- comptage unité par unité après regroupement des parties de carrés;

- décomposition en triangles et rectangles dont certains côtés suivent les lignes du quadrillage; plusieurs de ces décompositions font intervenir le rectangle circonscrit à la figure (en particulier pour A) et la soustraction des triangles complémentaires;

- décomposition en triangles et rectangles puis prise de mesures en cm et mm et calculs à l'aide des formules.

Pour chacune de ces procédures, on relève de très nombreuses erreurs et obstacles caractéristiques.

Pour plus de détails, voir article en bibliographie.

Exploitations didactiques

La richesse et la variété des procédures, erreurs et obstacles offrent de multiples suggestions d'exploitation de ce problème en classe afin de revoir et approfondir toutes les étapes de la construction du concept d'aire: la perception de la "grandeur" aire et sa distinction de la "grandeur" longueur; le nécessité de choisir une unité d'aire qui soit la même pour toutes les figures, l'organisation du comptage et des regroupements de parties d'unité, la nécessité de décomposer les figures complexes en figures élémentaires au cas où les comptage et regroupements d'unités sont trop complexes, "l'additivité" des aires qui peut s'étendre à la "soustractivité" lorsqu'on encadre la figure dans un rectangle circonscrit, la maîtrise des formules de l'aire du rectangle mais aussi du triangle, la perception qu'un triangle est un demi-parallélogramme qui est-lui même équivalent à un rectangle, ...