Un champ d'aire double

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Rallye: 26.I.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• COG - Effectuer une construction géométrique
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

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Résumé

Transformer un polygone concave (composé d’un rectangle et d’un carré ou représentant les ¾ d’un carré) sur le contour duquel sont placés cinq points en un rectangle d’aire double de façon à ce que les cinq points soient encore sur le contour du rectangle dans leur position d’origine.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que l’aire du nouveau champ, doit être le double de celle de l’ancien champ.

- Faire le choix d’une unité de mesure, le plus simple étant de prendre pour unité un carreau du quadrillage et déterminer l’aire de l’ancien champ : 48 et celle du nouveau : 96 (en carreaux).

On peut aussi observer que la figure d’origine est composée de trois carrés de 4 × 4 et que le nouvel enclos devra être composé de six carrés de 4 × 4, ce qui permet d’obtenir facilement les deux premières solutions (pour la troisième il faudra décomposer ce carré en triangles dont l’aire vaut ½ ou ¼ du carré.)

- Comprendre la contrainte de position des 5 arbres : ils restent là où ils sont et ils doivent être aussi sur la nouvelle clôture. Comme il y a 5 arbres, ils ne peuvent pas tous être sur les sommets du rectangle (comme ils étaient sur les sommets de la figure d’origine) mais donc sur des côtés du rectangle.

- Essayer de dessiner le nouveau champ en tenant compte des trois contraintes : il doit être rectangulaire et les points doivent être sur les côtés ou être des sommets du rectangle.

Deux cas se présentent :

• Les côtés du rectangle suivent les lignes du quadrillage. Utiliser alors la contrainte sur l’aire, 96, pour déterminer les dimensions du rectangle (8 et 12 s’imposent rapidement comme diviseurs de 96 et 8 comme une des dimensions de la figure d’origine)
• Les côtés du rectangle ne suivent pas les lignes du quadrillage. Procéder par essais pour tracer le seul rectangle qui satisfait la contrainte sur la position des points. Déterminer son aire et la comparer à l’aire de l’ancien champ. Ou la comparer à celle de la figure précédente par décomposition

- Conclure qu’il y a trois possibilités :

Notions mathématiques

rectangle, aire, quadrillage

Résultats

26.I.09

Points attribués, sur 3351 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte avec dessin précis des trois rectangles possibles et vérification du doublement de l’aire, sans aucune figure erronée
• 3 points: Dessin précis des trois rectangles possibles sans vérification du doublement de l’aire
  ou dessin précis de deux rectangles corrects avec vérification du doublement de l’aire et sans aucune figure erronée
  ou dessin précis des trois rectangles corrects avec ou sans vérification du doublement de l’aire et avec présence d’une figure erronée (soit la figure n’est pas un rectangle, soit la position de tous les arbres sur le contour n’est pas respectée)
• 2 points: Dessin précis d’un seul rectangle correct avec ou sans vérification du doublement de l’aire et sans aucune figure erronée
  ou dessin précis de 2 rectangles corrects avec ou sans vérification du doublement de l’aire et avec présence d’une figure erronée
• 1 point: Dessin précis d’un seul rectangle correct avec ou sans vérification du doublement de l’aire et avec présence d’une figure erronée
• 0 point: Incompréhension du problème