L'arbre d'Adèle

Identification

Rallye: 26.II.04 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• AL - Traiter des alignements d'objets
• AL/DEN - Dénombrer
• RO - Paver une figure de manière optimale
• RO/NU - Paver avec des contraintes numériques

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Résumé

Paver chacune des deux parties d’une figure dessinée sur du papier quadrillé par trois formes données, de manière à minimiser le nombre de formes utilisées dans chaque partie.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre qu'il est nécessaire de couvrir séparément les deux zones de l'arbre, en utilisant dans chacune d'elles le plus petit nombre possible de formes parmi celles des types indiqués ;

- Garder à l'esprit que les formes ne doivent pas dépasser les limites de la région à couvrir, qu’elles ne doivent pas se chevaucher ni laisser des espaces vides ;

- Choisir une région et essayer de la recouvrir, en dessinant ou en positionnant les formes découpées, en essayant d'utiliser le moins de cartes possible.

- Procéder par tâtonnement suivant l'idée intuitive (mais à vérifier) de positionner d’abord le plus grand nombre de cartes qui occupent le plus de carrés, à savoir le jaune J, qui est un rectangle de 6 carrés, puis la forme orange O qui est en forme de "L", recto ou verso, et occupe 5 carrés. Il sera nécessaire de vérifier à chaque fois que l'espace laissé après l'arrangement des cartes qui occupent le plus d'espace est couvert par des cartes de type V (rectangles de 3 cases), sinon essayer de réduire le nombre de cartes de type V ou O ;

Une autre façon de procéder peut consister à essayer de positionner les cartes orange d'abord le long de la ligne de démarcation des deux zones qui, dans certaines parties, « suggère » la forme en L de ces carreaux ;

- Trouver que le nombre minimum de cartes nécessaires pour couvrir la région supérieure de l'arbre est 5 : deux cartes J, deux O et une V (on peut vérifier expérimentalement qu'en positionnant le nombre maximum de cartes J, soit 3, on ne peut pas couvrir la partie restante avec les formes des deux autres types) ;

- Procéder de façon analogue pour la région inférieure de l'arbre et constater que la couverture minimale est obtenue avec 4 cartes J, 3 cartes O et une carte V (il est possible de vérifier expérimentalement que, en positionnant le nombre maximum de cartes O, soit 5, il n'est pas possible de compléter le recouvrement en utilisant des cartes des deux autres types) ;

- Conclure qu’Adèle a utilisé pour réaliser cette mosaïque de l’arbre six cartes jaunes, cinq cartes orange et deux cartes vertes ;

- Sur la figure, l'arbre est représenté avec les zones supérieure et inférieure pavées avec l'une des dispositions minimales possibles, respectivement de 5 cartes (2 J, 2 O, 1 V) et de 8 cartes (4 J, 3 O, 1 V).

Une erreur possible est de considérer la forme O comme un L de 4 cases au lieu de 5, obtenant ainsi un nombre de cartes supérieur à celui demandé et un pavage comme celui de l'image suivante :

Notions mathématiques

quadrillage, pavage, figure géométrique, aire, forme, rectangle, polygone, mosaïque

Résultats

26.II.04

Points attribués, sur 2329 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (6 cartes jaunes, 5 cartes orange, 2 cartes vertes) avec le dessin précis des formes ou un collage, avec indication de la couleur des cartes.
• 3 points: Dessin ou collage corrects, mais sans spécifier le nombre et / ou la couleur des cartes.
• 2 points: Réponse incorrecte avec un dessin ou un collage montrant le positionnement correct et minimal des cartes sur une zone et non minimal sur l'autre zone (avec ou sans l'indication du nombre de pièces ou de leur couleur).
• 1 point: Réponse incorrecte en raison d'une couverture non-minimale des deux zones
  ou réponse erronée due à la présence d’un type de carte différent de ceux qui sont donnés (par exemple un “L” de 4 carrés au lieu de 5).
• 0 point: Incompréhension du problème (ou présence de plus de types de formes différentes de celles données).